问题及解答

设 $G$ 是一个李群, 则 $\mathfrak{g}=T_1 G$ 具有一个典范的李代数结构, 交换子如问题878中所定义. 我们将记这个群为 $\mathrm{Lie}(G)$.

每个李群同态 $\varphi:\ G_1\rightarrow G_2$ 定义了一个相应的李代数同态 $\varphi_*:\ \mathfrak{g}_1\rightarrow\mathfrak{g}_2$. 因此我们得到一个映射

\[
\mathrm{Hom}(G_1,G_2)\rightarrow\mathrm{Hom}(\mathfrak{g}_1,\mathfrak{g}_2),
\]

如果 $G_1$ 是连通的, 则这个映射是单射, 即可认为 $\mathrm{Hom}(G_1,G_2)\subset\mathrm{Hom}(\mathfrak{g}_1,\mathfrak{g}_2)$.

Remark:

1. 李群的同态 $f: G_1\rightarrow G_2$ 指 $f$ 是一个群同态, 并且是一个光滑映射. 如果 $G_1$ 和 $G_2$ 是复李群, 则要求 $f$ 是全纯的(holomorphic). 当然这个条件有点苛刻, 实的李群之间的每个连续同态都是(实)解析的(real analytic).

2.  对于李群同态 $f: G_1\rightarrow G_2$, $g: G_2\rightarrow G_3$, 则复合映射 $g\circ f: G_1\rightarrow G_3$ 显然仍是一个李群同态. 如果考虑所有的李群, 以及所有的李群同态, 则构成一个范畴(category).

3. 关于李群的同构的定义, 参见问题1956

4. 如果使用范畴的语言, 我们得到一个从李群范畴到李代数范畴的协变算子(covariant functor), 它将李群映为李代数, 且将李群同态($\varphi$)映为其在单位元处的切映射($\varphi_*$).

5. $\mathrm{Hom}(G_1,G_2)$ 和 $\mathrm{Hom}(\mathfrak{g}_1,\mathfrak{g}_2)$ 是否可成为两个群.

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group

(1) 如果 $G_2$ 是交换群, 则 $\mathrm{Hom}(G_1,G_2)$ 是一个群.

任取 $f,g\in\mathrm{Hom}(G_1,G_2)$, 定义集合 $\mathrm{Hom}(G_1,G_2)$ 中的乘法 $fg$ 为

\[
(fg)(u):=f(u)g(u),\quad \forall\ u\in G_1.
\]

后者 $f(u)g(u)$ 是 $G_2$ 中的乘法. 定义 $f$ 的逆为 $f^{-1}(u)=f(u^{-1})$. (注意, 这里 $f^{-1}$ 不是指逆映射 $G_2\rightarrow G_1$.)

于是

\[
(fg)(uv)=f(uv)g(uv)=f(u)f(v)g(u)g(v)=f(u)g(u)f(v)g(v)=(fg)(u)(fg)(v).
\]

从而所定义的乘法 $fg$ 是一个同态, 即 $fg\in\mathrm{Hom}(G_1,G_2)$. 当然, 也可定义集合 $\mathrm{Hom}(G_1,G_2)$ 中的乘法为

\[
(f\cdot g)(u):=f(u)g(u^{-1}),\quad \forall\ u\in G_1.
\]

因此, $\mathrm{Hom}(G_1,G_2)$ 是一个群.