设 $G\subset\mathrm{GL}(n)=\mathrm{GL}(n,\mathbb{K})$, 则 $\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(n)$. 且交换子(commutator)由下式给出

\[
[x,y]=xy-yx.
\]

[Def] 设 $\mathfrak{g}$ 是一个李代数. 子空间 $\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}$ 称为 $\mathfrak{g}$ 的李子代数(Lie subalgebra), 如果它在交换子(commutator)运算之下是封闭的.

即, 对任意 $x,y\in\mathfrak{h}$, 我们有 $[x,y]\in\mathfrak{h}$.

[Def] 子空间 $\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}$ 称为 $\mathfrak{g}$ 的理想(ideal), 如果对任意 $x\in\mathfrak{g}$, $y\in\mathfrak{h}$, 有 $[x,y]\in\mathfrak{h}$.

一个李代数称为是半单的, 如果它是一些单李代数的直和.

证明李群 $SL(n,\mathbb{C})$ 的李代数 $\mathrm{sl}(n,\mathbb{C})$ 为

\[
\mathrm{sl}(n,\mathbb{C})=\{A\in\mathcal{M}(n,\mathbb{C})\mid \text{tr}(A)=0\}.
\]

证明:

$\mathrm{sl}(n,\mathbb{C})=\mathrm{sl}(n,\mathbb{R})_{\mathbb{C}}$.

$\mathrm{su}(2)\subset\mathrm{sl}(2,\mathbb{C})$.

$\mathrm{sl}(2,\mathbb{C})=\mathrm{su}(2)\otimes\mathbb{C}$.  (见问题1980)

求李代数 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{C})$ 的基.

在 $\mathbb{E}^3$ 中, 定义算子 $[,]$ 为

\[[\xi,\eta]:=\xi\times\eta,\quad\forall\ \xi,\eta\in\mathbb{E}^3.\]

这个算子是反对称双线性的. 容易验证满足下面的雅可比恒等式

\[[\xi,[\eta,\zeta]]+[\eta,[\zeta,\xi]]+[\zeta,[\xi,\eta]]=0,\forall\ \xi,\eta,\zeta\in\mathbb{E}^3.\]

[Def] 一般的, 对于向量空间 $V$, 如果存在一个反对称双线性算子 $[,]$, 满足上面的雅可比恒等式, 则称 $(V,[,])$ 为李代数. 其中 $[,]$ 常被称为换位子.

除了上面的 $(\mathbb{R}^3,[,])$, 还有一些简单例子.

例 2. 记 $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ 为所有 $n$ 阶实方阵组成的集合. 若 $X,Y\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, 令 $[X,Y]:=XY-YX$, 则 $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ 在此运算下是一个李代数.

一般的, 若 $V$ 为某个线性算子的代数, 则 $V$ 在如下定义的运算

\[[A,B]:=AB-BA\]

下成为一个李代数.

References:

现代几何学: 方法与应用(第一卷) 曲面几何、变换群与场.(第5版) [\$ 24, pp.164]

许明 译

William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. second edtion. P.152