证明李群 $SL(n,\mathbb{C})$ 的李代数 $\mathrm{sl}(n,\mathbb{C})$ 为
\[
\mathrm{sl}(n,\mathbb{C})=\{A\in\mathcal{M}(n,\mathbb{C})\mid \text{tr}(A)=0\}.
\]
证明:
$\mathrm{sl}(n,\mathbb{C})=\mathrm{sl}(n,\mathbb{R})_{\mathbb{C}}$.
$\mathrm{su}(2)\subset\mathrm{sl}(2,\mathbb{C})$.
$\mathrm{sl}(2,\mathbb{C})=\mathrm{su}(2)\otimes\mathbb{C}$. (见问题1980)
求李代数 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{C})$ 的基.
1
$SL(n,\mathbb{C})$ 中的矩阵满足 $\det(A)=1$. 考虑指数映照
2
由于 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{C})=\mathrm{su}(2)\otimes\mathbb{C}$, 因此 $\mathrm{su}(2)$ 的基也可以作为 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{C})$ 的基.
也就是说可以取 $i\sigma_1, i\sigma_2, i\sigma_3$ 作为线性空间 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{C})$ 的一组基. ($\mathrm{su}(2)$ 的这组基参见问题1980.)
而传统上, 通常取下面三个矩阵作为 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{C})$ 的基.
\[
e=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad f=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad h=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}
\]
这很容易验证, 因为
\[
\begin{pmatrix}a & b\\ c & -a\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
\]
此外, 它们的交换子满足
\[
[e,f]=h,\quad [h,e]=2e,\quad [h,f]=-2f.
\]
事实上,
\[
\begin{split}
[e,f]=ef-fe&=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}=h.
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
[h,e]=he-eh&=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & -1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}0 & 2\\ 0 & 0\end{pmatrix}=2e.
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
[h,f]=hf-fh&=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}0 & 0\\ -1 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}0 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}=-2f.
\end{split}
\]
References:
Alexander Kirillov, Jr. Introduction to Lie Groups and Lie Algebras.