Questions in category: 重积分 (Multiple Integrals)
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1. 二重积分不等式

Posted by haifeng on 2016-08-20 16:19:27 last update 2016-08-20 16:21:10 | Answers (0) | 收藏


二重积分不等式

设 $f,g$ 都在 $[a,b]$ 上可积, 则有

\[
\iint_{[a,b]^2}\Bigl[f(x)g(y)-f(y)g(x)\Bigr]^2 dxdy \geqslant 0.
\]

 


 

利用二重积分不等式证明下面的 Cauchy-Schwarz 不等式

\[
\biggl(\int_a^b f(x)g(x)dx\biggr)^2\leqslant\int_a^b f^2(x)dx\cdot\int_a^b g^2(x)dx
\]

2. 证明 $\int_a^b dx\int_a^x f(y)dy=\int_a^b f(x)(b-x)dx$.

Posted by haifeng on 2014-12-23 19:40:26 last update 2014-12-23 19:40:26 | Answers (1) | 收藏


证明

\[\int_a^b dx\int_a^x f(y)dy=\int_a^b f(x)(b-x)dx.\]

3. 讨论下面二重积分的敛散性

Posted by haifeng on 2014-10-24 23:28:49 last update 2014-10-26 00:00:23 | Answers (0) | 收藏


\[
\iint_{x^2+y^2\geqslant 1}\frac{\sin\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}dxdy.
\]


Hint

令 $f(x,y)=\frac{\sin\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}$, 记 $A=\{(x,y)\mid x^2+y^2\geqslant 1\}$, 回忆广义二重积分的定义

\[
\int_A f=\int_A f^{+}-\int_A f^{-}.
\]

这里 $f^+=\max\{f,0\}$, $f^-=\max\{-f,0\}$. 因此 $f(x,y)$ 在 $A$ 上可积当且仅当 $f^{+}$ 和 $f^{-}$ 在 $A$ 上都可积. 从而等价于 $|f|$ 在 $A$ 上可积. ($|f|=f^{+}+f^{-}$)

令 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, 则二重积分 $\int_A f^{+}$ 可写为

\[
\begin{split}
\int_A f^{+}&=\lim_{k\rightarrow+\infty}\int_{A\cap B_k}f^{+}\\
&=\lim_{k\rightarrow+\infty}\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{k}\frac{\max\{\sin r,0\}}{r^2}\cdot rdrd\theta\\
&=\lim_{k\rightarrow+\infty}2\pi\int_{1}^{k}\frac{\max\{\sin r,0\}}{r}dr.
\end{split}
\]

我们知道这是发散的, 具体参见 问题1387

4. 求曲面 $z=xy$ 和平面 $x+y+z=1$, $z=0$ 所围成区域的体积.

Posted by haifeng on 2014-09-10 15:37:31 last update 2014-09-10 15:37:31 | Answers (0) | 收藏


求曲面 $z=xy$ 和平面 $x+y+z=1$, $z=0$ 所围成区域的体积.


Remark. $z=xy$ 是双曲抛物面.

5. 计算三重积分 $\iiint_{V} zdV$

Posted by haifeng on 2014-08-30 20:34:22 last update 2014-08-30 20:34:22 | Answers (1) | 收藏


计算三重积分 $\iiint_{V} zdV$, 其中 $V$ 为上半球面 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 与旋转抛物面 $x^2+y^2=z$ 所围成的区域.

6. 设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f(x)>0$, 利用二重积分证明

Posted by haifeng on 2012-06-04 13:26:56 last update 2015-02-12 22:03:02 | Answers (2) | 收藏


\[\int_a^b f(x)dx\int_a^b\frac{1}{f(x)}dx\geq (b-a)^2\]


该题可以有好多种证法.

1) 使用重积分.

2) 应用几何不等式, 及积分的定义.

3) 应用 Hölder 不等式.


例题:

设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, 且 $1\leqslant f(x)\leqslant 3$. 证明

\[
1\leqslant \int_0^1f(x)dx\int_0^1\frac{1}{f(x)}dx\leqslant\frac{4}{3}.
\]


一般的, 若 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的正值连续函数, 且 $m\leqslant f(x)\leqslant M$, 则有所谓的康托罗维奇(Kantorovich)不等式:

\[
1\leqslant \int_0^1f(x)dx\int_0^1\frac{1}{f(x)}dx\leqslant\frac{(M+m)^2}{4Mm}(b-a)^2.
\]


References:

《大学数学竞赛指导》 国防科学技术大学大学数学竞赛指导组, 清华大学出版社. 2009年