问题及解答

\[\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\int_a^b\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x\geq (b-a)^2\]

该题可以有好多种证法.

1) 使用重积分.

2) 应用几何不等式, 及积分的定义.

3) 应用 Hölder 不等式.

例题:

设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, 且 $1\leqslant f(x)\leqslant 3$. 证明

\[
1\leqslant \int_0^1f(x)\mathrm{d}x\int_0^1\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x\leqslant\frac{4}{3}.
\]

一般的, 若 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的正值连续函数, 且 $m\leqslant f(x)\leqslant M$, 则有所谓的康托罗维奇(Kantorovich)不等式:

\[
1\leqslant \int_0^1f(x)\mathrm{d}x\int_0^1\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x\leqslant\frac{(M+m)^2}{4Mm}(b-a)^2.
\]

References:

《大学数学竞赛指导》 国防科学技术大学大学数学竞赛指导组, 清华大学出版社. 2009年

不妨设 $a<b$.

\[\int_a^b f(x)dx\int_a^b\frac{1}{f(x)}dx=\int_a^b f(x)dx\int_a^b\frac{1}{f(y)}dy=\int_a^b\int_a^b\frac{f(x)}{f(y)}dxdy\]

设 $y=x$ 将正方形区域 $\Omega=[a,b]^2$ 分成上、下两部分, $\Omega_1$ 和 $\Omega_2$. 令 $\varphi(x,y)=\frac{f(x)}{f(y)}$. 则

\[\begin{split}\iint_{\Omega}\varphi(x,y)dxdy &=\iint_{\Omega_1}\varphi(x,y)dxdy+\iint_{\Omega_2}\varphi(x,y)dxdy\\ &=\iint_{\Omega_1}\varphi(x,y)dxdy+\iint_{\Omega_1}\varphi(v,u)|J|dudv\\ &=\iint_{\Omega_1}\varphi(x,y)dxdy+\iint_{\Omega_1}\varphi(y,x)dxdy\\ &=\iint_{\Omega_1}\bigl[\varphi(x,y)+\varphi(y,x)\bigr]dxdy\\ &\geq\iint_{\Omega_1}2\sqrt{\varphi(x,y)\varphi(y,x)}dxdy\\ &=2\iint_{\Omega_1}dxdy\\ &=2\text{area}(\Omega_1)=(b-a)^2\end{split}\]

其中第二个等号是做了变换

\[\begin{cases}x=v\\ y=u\end{cases}\]

\[J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=-1\]

由条件 $m\leqslant f(x)\leqslant M$, 可得

\[
\int_a^b\frac{(f(x)-m)(f(x)-M)}{f(x)}dx\leqslant 0,
\]

即

\[
\int_a^b f(x)dx+mM\int_a^b\frac{1}{f(x)}dx\leqslant (M+m)(b-a).
\]

而由均值不等式可推出

\[
2\sqrt{\int_a^b f(x)dx\cdot mM\int_a^b\frac{1}{f(x)}dx}\leqslant\int_a^b f(x)dx+mM\int_a^b\frac{1}{f(x)}dx,
\]

故得

\[
\int_a^b f(x)dx\cdot\int_a^b\frac{1}{f(x)}dx\leqslant\frac{(M+m)^2}{4mM}(b-a)^2.
\]