问题及解答

计算三重积分 $\iiint_{V} zdV$, 其中 $V$ 为上半球面 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 与旋转抛物面 $x^2+y^2=z$ 所围成的区域.

上半球面 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 与旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 的交线是一个圆. 中心在 $(0,1)$, 半径为 1.

\[
\begin{split}
\iiint_V zdV&=\int_0^1 z\cdot\pi y^2 dz+\int_1^{\sqrt{2}} z\cdot\pi y^2 dz\\
&=\int_0^1 z\pi zdz+\int_1^{\sqrt{2}} z\pi(2-z^2)dz\\
&=\pi\cdot\frac{1}{3}z^3\bigg|_{0}^{1}+\pi\cdot(z^2-\frac{1}{4}z^4)\bigg|_{1}^{\sqrt{2}}\\
&=\frac{7}{12}\pi.
\end{split}
\]