Questions in category: 同伦理论 (Homotopy Theory)
拓扑 >> 代数拓扑 >> 同伦理论
<[1] [2] >

1. [Def]Eilenberg-MacLane 空间

Posted by haifeng on 2017-03-07 20:12:41 last update 2017-03-07 20:16:38 | Answers (0) | 收藏


$K(\pi,n)$ 型的 Eilenberg-MacLane 空间

设 $X$ 是一个拓扑空间, $\pi$ 是一个离散群. 如果 $X$ 的同伦群除 $\pi_n(X)=\pi$ 之外都等于 0, 则称 $X$ 是 $K(\pi,n)$ 型的 Eilenberg-MacLane 空间.

显然, 对于 $n\geqslant 2$, 这样的空间如果存在, 则必须要求 $\pi$ 是交换群.

给定任意群 $\pi$, 若 $n\geqslant 2$, $\pi$ 是交换群, 则存在$K(\pi,n)$ 型的 Eilenberg-MacLane 空间. 并且这个空间可以被构造为一个 CW 复形.

任意两个$K(\pi,n)$ 型的 Eilenberg-MacLane 空间是弱同伦等价的(weakly homotyp equivalent).

 

2. Hurewicz 同构定理

Posted by haifeng on 2017-03-07 11:30:29 last update 2017-03-07 21:19:59 | Answers (0) | 收藏


为计算一些高阶同伦群, 我们需要研究高阶同伦群(higher homotopy groups)与同调群(homology)之间的关系.

关键因素是 Hurewicz homomorphism

\[
\Phi:\ \pi_k(X,x_0)\rightarrow H_k(X)
\]

回忆 $S^k$ 的标准定向决定了下面的典范同构

\[
H_k(S^k)\cong\mathbb{Z}.
\]

其生成元是基本类 $[S^k]\in H_k(S^k)$.

 

如果 $f:(S^k,p)\rightarrow (X,x_0)$ 代表了 $[f]\in\pi_k(X,x_0)$, 我们定义

\[
\Phi([f]):=f_*[S^k]\in H_k(X).
\]

 

 


References:

Michael Hutchings, Introduction to higher homotopy groups and obstruction theory.

3. 求 $\pi_k(S^n,x_0)$

Posted by haifeng on 2017-03-07 10:52:26 last update 2017-03-07 10:52:26 | Answers (1) | 收藏


证明:

\[
\pi_k(S^n,x_0)\cong\begin{cases}
0, & 1\leqslant k < n,\\
​\mathbb{Z}, & k=n.
​\end{cases}
\]

4. 证明 $\pi_3(S^2)\cong\mathbb{Z}$.

Posted by haifeng on 2017-03-07 10:45:34 last update 2017-03-07 11:00:58 | Answers (1) | 收藏


证明 $\pi_3(S^2)\cong\mathbb{Z}$.

 


Remark:  一般的, 对于 $k > n$, $\pi_k(S^n)$ 都很难计算, 即使当 $n=2$ 的情况. 尽管同伦群的定义很简单, 但是计算却非常困难.

5. 证明: $\pi_k(S^1,p)=0$, 对任意 $k > 1$.

Posted by haifeng on 2017-03-07 10:08:43 last update 2017-03-07 10:58:32 | Answers (1) | 收藏


证明: $\pi_k(S^1,p)=0$, 对任意 $k > 1$.

 

[hint] 由于覆盖空间的同伦群与底空间的同伦群是同构的(见问题1900), 因此可以考虑 $\pi_k(\mathbb{R},x_0)$.

 

更一般的, 如果 $X$ 的覆盖空间是可缩的, 则有 $\pi_k(X,x_0)=0$, 对任意 $k > 1$. 例如, 当 $X$ 是亏格大于 0 的黎曼曲面时, 其第 $k (>1)$ 同伦群为 0.

 

References:

Michael Hutchings, Introduction to higher homotopy groups and obstruction theory.

6. 覆盖空间的第 $n$ 同伦群和底空间的第 $n$ 同伦群是同构的(这里 $n\geqslant 2$).

Posted by haifeng on 2017-03-07 08:48:09 last update 2017-06-18 11:20:06 | Answers (1) | 收藏


设 $p: E\rightarrow B$ 是一个覆盖映射(也称覆盖空间, 或单独地称 $E$ 是 $B$ 的覆盖空间, $B$ 是底空间). 设 $y_0\in E$, $x_0=p(y_0)\in B$. 则有

\[
\pi_k(E,y_0)\cong\pi_k(B,x_0),\quad\forall\ k=2,3,4,\ldots
\]

Q. 它们的基本群是同构的吗?

7. 同伦群的长正合序列

Posted by haifeng on 2017-03-07 08:43:36 last update 2017-03-07 08:43:36 | Answers (0) | 收藏


[Thm] 设 $F\rightarrow E\rightarrow B$ 是一个纤维丛, 设 $y_0\in E$, $x_0=\pi(y_0)\in B$. 这里 $\pi:E\rightarrow B$.

纤维 $F=\pi^{-1}(x_0)$. 则存在一个同伦群的长正合序列

\[
\cdots\rightarrow\pi_{k+1}(B,x_0)\rightarrow\pi_{k}(F,y_0)\rightarrow\pi_{k}(E,y_0)\rightarrow\pi_{k}(B,x_0)\rightarrow\pi_{k-1}(F,y_0)\rightarrow\cdots
\] 

此长正合序列终于 $\pi_1(B,x_0)$. 映射 $\pi_{k}(F,y_0)\rightarrow\pi_{k}(E,y_0)$ 和 $\pi_{k}(E,y_0)\rightarrow\pi_{k}(B,x_0)$ 分别由映射 $F\rightarrow E$ 和 $E\rightarrow B$ 所诱导.

 


 

References:

Michael Hutchings, Introduction to high homotopy groups and obstruction theory. [pdf]

8. $\pi_n(X,x_0)$ 上的群结构

Posted by haifeng on 2015-08-28 18:02:53 last update 2015-08-28 18:11:21 | Answers (0) | 收藏


对于 $\pi_n(X,x_0)$ 中的元素, $\alpha=[f]$, $f$ 是定义在球 $B^n$ 上的映射, 通过映射的复合(juxtaposition)可以定义 $\pi_n(X,x_0)$ 上的一个群结构, 且满足

\[
\|\gamma\delta\|^{\frac{1}{n}}\leqslant\|\gamma\|^{\frac{1}{n}}+\|\delta\|^{\frac{1}{n}},\quad\forall\ \gamma,\delta\in\pi_n(X,x_0).
\]

 

Pf. 设 $\|\gamma\| < a$, $\|\delta\| < b$, $a,b$ 是两个固定的实数. 则同伦类 $\gamma$ 和 $\delta$ 可分别用定义在半径为 $a^{\frac{1}{n}}$ 和 $b^{\frac{1}{n}}$ 的球上的最短映射 $f$ 和 $g$ 代表. $f$ 和 $g$ 将这两个球的边界映为点 $x_0$.

 


Ref.

Gromov

 

(整理中...)

9. $n$ 维同伦群除 $n=1$ 之外都是交换群.

Posted by haifeng on 2013-07-09 10:20:41 last update 2013-07-09 10:41:28 | Answers (0) | 收藏


回忆基本群的定义是指所有 $S^1$ 到拓扑空间 $X$ 映射的同伦类的集合. 当把 $S^1$ 换成 $S^n$, 可以验证在同伦加法下构成一个群, 称为第 $n$ 个(维)同伦群.

证明: $n$ 维同伦群除 $n=1$ 之外都是交换群.


同伦群也可以这样来定义.

设 $I^n=[0,1]^n\subset\mathbb{E}^n$, 即 $n$ 维欧氏空间中的 $n$ 维方体. $n\geq 1$. $I^n$ 的边界是

\[
\partial I_n=\{(t_1,\ldots,t_n)\in I^n\mid\Pi_{i=1}^{n}t_i(1-t_i)=0\}
\]

取定 $X$ 中一点 $x_0$, 并记

\[
M_n(X,x_0)=\{f\in X^{I^n}\mid f:\ (I^n,\partial I^n)\rightarrow (X,x_0)\}
\]

命 $\pi_n(X,x_0)$ 表示 $M_n(X,x_0)$ 中就映射的同伦关系 $f\simeq g:\ (I^n,\partial I^n)\rightarrow (X,x_0)$ 所分成的同伦类的集合. 在 $\pi_n(X,x_0)$ 中引入运算 "$+$":


References:

廖山涛, 刘旺金 著 《同伦论基础》, 北京大学出版社.

10. Eilenberg-MacLane space

Posted by haifeng on 2013-03-03 22:06:44 last update 2014-01-04 14:36:15 | Answers (0) | 收藏


设 $\pi$ 是一个离散群, 拓扑空间 $X$ 称为是 $K(\pi,n)$-型的 Eilenberg-MacLane 空间(这里 $n\geq 1$), 如果除 $\pi_n(X)$(其同构于 $\pi$) 之外, 其余同伦群 $\pi_k(X)$, $k\neq n$ 都是平凡的。

当然, 当 $n\geq 2$ 时, 要使得这样的空间存在, $\pi$ 必须是交换群. (因为 $n\geqslant 2$ 阶同伦群都是 Abel 群.)


References:

http://planetmath.org/encyclopedia/EilenbergMacLaneSpace.html

<[1] [2] >