问题及解答

证明: $\pi_k(S^1,p)=0$, 对任意 $k > 1$.

[hint] 由于覆盖空间的同伦群与底空间的同伦群是同构的(见问题1900), 因此可以考虑 $\pi_k(\mathbb{R},x_0)$.

更一般的, 如果 $X$ 的覆盖空间是可缩的, 则有 $\pi_k(X,x_0)=0$, 对任意 $k > 1$. 例如, 当 $X$ 是亏格大于 0 的黎曼曲面时, 其第 $k (>1)$ 同伦群为 0.

References:

Michael Hutchings, Introduction to higher homotopy groups and obstruction theory.

存在覆盖映射 $\mathbb{R}\rightarrow S^1$, 对于任意映射 $f:S^k\rightarrow S^1$, 由同伦提升引理(Lifting criterion), 可知 $f$ 可提升为映射 $\widetilde{f}:S^k\rightarrow\mathbb{R}$. (该提升是唯一的, 原因在于覆盖空间作为纤维丛, 其纤维是离散空间.)

由于 $\mathbb{R}$ 是可缩的, 故 $\widetilde{f}$ 同伦于一个常值映射.

如果不使用“覆盖空间的同伦群与底空间的同伦群是同构的”这个结论, 那么可将 $\widetilde{f}$ 投影到 $S^1$ 上成为一个同伦于 $f$ 的一个常值映射.