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问题及解答

覆盖空间的第 $n$ 同伦群和底空间的第 $n$ 同伦群是同构的(这里 $n\geqslant 2$).

Posted by haifeng on 2017-03-07 08:48:09 last update 2017-06-18 11:20:06 | Edit | Answers (1)

设 $p: E\rightarrow B$ 是一个覆盖映射(也称覆盖空间, 或单独地称 $E$ 是 $B$ 的覆盖空间, $B$ 是底空间). 设 $y_0\in E$, $x_0=p(y_0)\in B$. 则有

\[
\pi_k(E,y_0)\cong\pi_k(B,x_0),\quad\forall\ k=2,3,4,\ldots
\]

Q. 它们的基本群是同构的吗?

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Posted by haifeng on 2017-06-18 11:19:00

首先, 覆盖空间是一个纤维丛, 其纤维是离散空间.

事实上, 由于 $p:E\rightarrow B$ 是覆盖空间, 故任取 $b\in B$, 存在邻域 $b\in U\subset B$, 使得 $p^{-1}(U)$ 是 $E$ 中不相交开集的并, 故 $p^{-1}(U)\cong F\times U$, 其中 $F$ 是一个离散空间. 因此满足纤维丛的定义. 其纤维就是一个离散空间.pi_

因此 $\pi_k(F,x_0)=0$, $\forall k\geqslant 1$.

因此, 根据同伦群的长正合序列定理(见问题1899), 当 $k\geqslant 2$ 时, 有

\[
0=\pi_k(F,y_0)\rightarrow\pi_k(E,y_0)\rightarrow\pi_k(B,x_0)\rightarrow 0=\pi_{k-1}(F,y_0)
\]

可得 $\pi_k(E,y_0)\cong\pi_k(B,x_0)$, 对任意 $k=2,\ldots$.

 

当 $k=1$ 时, 有

\[
0=\pi_1(F,y_0)\rightarrow\pi_1(E,y_0)\rightarrow\pi_1(B,x_0)\rightarrow\pi_{0}(F,y_0)\rightarrow\pi_0(E,y_0)
\]

因此当 $p:E\rightarrow B$ 是万有覆盖时, $\pi_1(E,y_0)=0$, $\pi_0(E,y_0)=0$, 即都是平凡群. 因此 $\pi_1(B,x_0)\cong\pi_0(F,y_0)$, 即底空间的基本群就是覆盖变换的 deck 变换群.