求 $\pi_k(S^n,x_0)$
证明:
\[
\pi_k(S^n,x_0)\cong\begin{cases}
0, & 1\leqslant k < n,\\
\mathbb{Z}, & k=n.
\end{cases}
\]
证明:
\[
\pi_k(S^n,x_0)\cong\begin{cases}
0, & 1\leqslant k < n,\\
\mathbb{Z}, & k=n.
\end{cases}
\]
1
选取点 $x_1\in S^n$, 使得 $x_1\neq x_0$. 考虑映射 $f:(S^k,p)\rightarrow (S^n,x_0)$. 不妨设 $f$ 是一个光滑映射, 这可以通过对 $f$ 经过一个同伦后得到.
如果 $k < n$, 则我们可以使得 $x_1\not\in f(S^k)$. 从而 $f$ 将 $S^k$ 映射到 $S^n\setminus\{x_0\}\cong\mathbb{R}^n$, 这是可缩的. 因此 $f$ 同伦到常值映射.
如果 $k=n$, 我们可以假设 $f$ 在 $x_1$ 处横截 (用到了微分拓扑中的东西), 使得 $x_1$ 有有限多个原像, 每一个赋予一个符号. 可以证明, 这些带符号的计数 $\#f^{-1}(x_1)\in\mathbb{Z}$ 决定了 $f$ 在 $\pi_n(S^n,x_0)$ 中的同伦类. (参见 Guillemin 和 Pollack.)
References:
Michael Hutchings, Introduction to higher homotopy groups and obstruction theory.