问题及解答

证明 $\pi_3(S^2)\cong\mathbb{Z}$.

Remark:  一般的, 对于 $k > n$, $\pi_k(S^n)$ 都很难计算, 即使当 $n=2$ 的情况. 尽管同伦群的定义很简单, 但是计算却非常困难.

由 Hopf fiberation  $S^1\rightarrow S^3\rightarrow S^2$, 可得同伦群长正合序列

\[
\pi_3(S^1)\rightarrow\pi_3(S^3)\rightarrow\pi_3(S^2)\rightarrow\pi_2(S^1)
\]

而 $\pi_3(S^1)=0=\pi_2(S^1)$ (见问题1902), 故得到短正合序列

\[
0\rightarrow\pi_3(S^3)\rightarrow\pi_3(S^2)\rightarrow 0.
\]

因此 $\pi_3(S^2)\cong\pi_3(S^3)\cong\mathbb{Z}$. 

(关于 $\pi_3(S^3)\cong\mathbb{Z}$, 请见问题1904.)

Q. 有没有其他方式可以计算? 比如能否直接找出 $\pi_3(S^2)$ 的生成元?