Questions in category: 泛函分析 (Functional Analysis)
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1. 并非所有内积空间都具有正交基.

Posted by haifeng on 2016-04-05 00:02:17 last update 2016-04-05 00:02:17 | Answers (0) | 收藏


并非所有内积空间都具有正交基.

Whether all inner product spaces have an orthonormal basis? The answer is negative.

 

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space#Orthonormal_sequences

2. 若不等式 $\|\{a_n\}\|_{L^q}\leqslant A\|f\|_{L^q}$ 对所有 $f\in L^p$ 成立, 则有 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\leqslant 1$.

Posted by haifeng on 2015-08-28 09:21:18 last update 2015-08-28 09:21:18 | Answers (1) | 收藏


若不等式

\[
\|\{a_n\}\|_{L^q}\leqslant A\|f\|_{L^q}
\]

对所有 $f\in L^p$ 成立, 其中 $a_n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(\theta)e^{-in\theta}d\theta$.

证明: $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\leqslant 1$.

3. Sobolev 空间 $W^{k,p}$ 的定义

Posted by haifeng on 2015-06-04 11:30:35 last update 2015-12-13 21:40:44 | Answers (0) | 收藏


\[
W^{k,p}(\mathbb{R}):=\{f\in L^p(\mathbb{R})\mid f, f^{(1)},\ldots, f^{(k)} \in L^p(\mathbb{R})\}
\]

也就是说 $W^{k,p}$ 是 $L^p$ 的一个子集, 要求函数 $f$ 及它的直到 $k$ 阶弱导数均具有有限的 $L^p$ 范数. 这里 $p\in[1,+\infty]$.

当 $p=2$ 时, 记 $H^k :=W^{k,2}$. 此时 $H^k$ 是一个 Hilbert 空间.

(这里考虑弱导数, 是因为了此空间是完备的, 从而是一个 Banach 空间.)


一般的, 设 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $m$ 是非负整数, $1\leqslant p < \infty$, 称集合

\[
W^{m,p}(\Omega):=\{u\in L^p(\Omega)\mid \tilde{\partial}^{\alpha}u\in L^p(\Omega),\ |\alpha|\leqslant m\}
\]

按模

\[
\|u\|_{m,p}=\Bigl(\sum_{|\alpha|\leqslant m}\|\tilde{\partial}^{\alpha}u\|^p_{L^p(\Omega)}\Bigr)^{1/p}
\]

4. 验证 Sobolev(Coбoлeв) 空间 $\mathcal{H}^{m,p}(\Omega)$ 所定义的 $\|\cdot\|_{m,p}$ 是一个范数.

Posted by haifeng on 2012-07-07 16:39:45 last update 2012-07-07 16:46:00 | Answers (0) | 收藏


设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个有界连通开区域, $m$ 是一个非负整数, $1\leqslant p < +\infty$. 对于 $C^k(\overline{\Omega})$ 中的任意 $u$, 定义

\[\|u\|_{m,p}:=\biggl(\sum_{|\alpha|\leqslant m}\int_\Omega\bigl|\partial^\alpha u(x)\bigr|^p\biggr)^{\frac{1}{p}}.\]

证明: $\|\cdot\|_{m,p}$ 是范数, 但 $C^k(\overline{\Omega})$ 依 $\|\cdot\|_{m,p}$ 不是完备的.


若定义

\[\|u\|:=\max_{|\alpha|\leqslant k}\,\,\max_{x\in\overline{\Omega}}\bigl|\partial^\alpha u(x)\bigr|,\]

则 $\|\cdot\|$ 是一范数, 且 $C^k(\overline{\Omega})$ 依 $\|\cdot\|$ 是完备的赋范线性空间.


References:

张恭庆, 《泛函分析讲义》 P.30--31

5. 证明: $\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-T}^{T}\frac{\sin jx}{x}dx=1$.

Posted by haifeng on 2012-07-07 16:13:51 last update 2012-07-07 16:13:51 | Answers (0) | 收藏


证明:

\[\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-T}^{T}\frac{\sin jx}{x}dx=1.\]


References:

张恭庆 《泛函分析讲义》 P.174-175.

6. [Thm](Banach, Steinhaus)奇点稠密原理

Posted by haifeng on 2011-09-06 09:56:43 last update 2011-09-06 15:34:39 | Answers (2) | 收藏


S. Banach [1] 和 H. Steinhaus 证明了奇点稠密原理(principle of condensation of singularities).

定理(S. Banach, H. Steinhaus): 设对每个 $p$, $\{T_{p,q}\}(q=1,2,\ldots)$ 是 Banach-空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y_p$ 的一列有界线性算子. 这里 $p=1,2,\ldots$. 假设对于每个 $p$, 存在 $x_p\in X$, 使得 $\varlimsup\limits_{q\rightarrow\infty}\|T_{p,q}x_p\|=\infty$. 则集合

\[ B=\big\{x\in X\mid \varlimsup\limits_{q\rightarrow\infty}\|T_{p,q}x\|=\infty\quad\text{for all }p=1,2\ldots\big\} \]

是第二纲集.

这个定理要基于下面 S. Banach 的一个定理:

定理(S. Banach): 假设 $\{T_n\}$ 是 Banach 空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y_n$ 的一列有界线性算子. 则集合

\[ B=\big\{x\in X\mid \varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}\|T_{n}x\|<\infty\big\} \]

或者就等于 $X$, 或者是 $X$ 中的一个第一纲集.


References:

Kôsaku Yosida(吉田 耕作), Functional Analysis, Sixth Edition. Springer-Verlag

[1] S. Banach, Théorie des Opérations Linéaires, Warszawa 1932.

7. [Thm](Weierstrass 定理)无处可微函数的存在性

Posted by haifeng on 2011-09-06 09:21:52 last update 2014-07-29 11:18:56 | Answers (0) | 收藏


存在定义在 $[0,1]$ 上的一个实值连续函数 $x(t)$, 使得在子区间 $[0,1/2]$ 上没有一点 $t_0$ 处的微商 $x'(t_0)$ 是有限的.