Questions in category: 数学建模 (Mathematical Models)
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1. [Ex.7.6-5]

Posted by haifeng on 2019-05-31 13:13:31 last update 2019-05-31 13:13:31 | Answers (0) | 收藏


弹簧在力 $F$ 的作用下伸长 $x$, 一定范围内服从胡克定律: $F$ 与 $x$ 成正比, 即

\[
F=kx.
\]

现在得到下面一组 $F,x$ 数据, 并在 $(x,F)$ 坐标下作图, 可以看到当 $F$ 大到一定数值后, 就不服从这个定律了.

试由数据确定 $k$, 并给出不服从胡克定律时的近似公式.

 

x 1 2 4 7 9 12 13 15 17
F 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1

 

2. [Ex.7.6-4]

Posted by haifeng on 2019-05-31 12:59:00 last update 2019-05-31 13:00:43 | Answers (0) | 收藏


用电压 $V=10$ 伏的电池给电容器充电, 电容器上 $t$ 时刻的电压为

\[
v(t)=V-(V-V_0)e^{-\frac{t}{\tau}},
\]

其中 $V_0$ 是电容器的初始电压, $\tau$ 是充电常数.

试由下面一组 $(t,v)$ 数据确定 $V_0$ 和 $\tau$.

 

t(s) 0.5 1 2 3 4 5 7 9
v(伏) 6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63


 

3. [Ex.7.6-3]

Posted by haifeng on 2019-05-31 12:56:07 last update 2019-05-31 12:56:07 | Answers (0) | 收藏


用给定的多项式, 如 $y=x^3-6x^2+5x-3$, 产生一组数据 $(x_i,y_i)$, $i=1,2,\ldots,n$, 再在 $y_i$ 上添加随机干扰(可用 rand 产生 $(0,1)$ 均匀分布随机数, 或用 randn 产生 $N(0,1)$ 分布随机数), 然后用 $x_i$ 和添加随机干扰的 $y_i$ 作 3 次多项式拟合, 与原系数比较, 如果作 2 次或 4 次多项式拟合, 结果如何?

 

4. [Ex.7.6-2]

Posted by haifeng on 2019-05-31 12:29:56 last update 2019-05-31 15:53:37 | Answers (1) | 收藏


下表给出了某一海域的水深数据. 直角坐标系 $xyz$ 中, $xy$ 平面上的点 $(x,y)$ 以码为单位, 水深 $z$ 以英尺为单位.

水深数据是在低潮时测得的, 船的吃水深度为 5 英尺.

问在矩形区域 $(75,200)\times(-50,150)$ 里哪些地方船要避免进入.

x 129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5
y 7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5
z 4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9

 

 

注: 1959年国际英码磅协议(在美国和英联邦国家之间)定义1英码(yd)为确切0.9144米, 相应地定义1英尺(ft)为确切的0.3048米(304.8 毫米)。[1]

yd = ft * 0.33333

 


References:

英尺 转换
[1] https://www.metric-conversions.org/zh-hans/length/feet-conversion.htm

5. [Ex.7.6-1]

Posted by haifeng on 2019-05-31 12:27:13 last update 2019-05-31 16:33:47 | Answers (1) | 收藏


在化工生产中常常需要知道丙烷在各种温度 $T$ 和压强 $P$ 下的导热系数 $K$. 下面是实验得到的一组数据:

T(°C) $x_1=68$ $x_1=68$ $x_2=87$ $x_2=87$ $x_3=106$ $x_3=106$ $x_4=140$ $x_4=140$
P(103kPa) 9.7981 13.324 9.0078 13.355 9.7918 14.277 9.6563 12.463
K 0.0848 0.0897 0.0762 0.0807 0.0696 0.0753 0.0611 0.0651

 

试求 $T=99$°C 和 $P=10.3\times 10^3$ kPa 下的 $K$.

 

[分析]

这里可以将 $K$ 看成 $T$ 和 $P$ 的函数, 记为 $K=K(T,P)$.

在有限的数据下, 只能通过(合理的)插值去求出在特定点处的值.

6. [Ex.6.6.7]

Posted by haifeng on 2019-05-24 18:30:03 last update 2019-05-24 20:50:13 | Answers (0) | 收藏


只由三个字母 $a,b,c$ 组成的长度为 $n$ 的一些单词将在通信信道上传输, 传输中应满足条件:

    不得有两个 $a$ 连续出现在任一单词中.

确定通信信道允许传输的单词的个数.

 


换种表述方式,

信道中有一些单词在传输 $S=\{w_1,w_2,\ldots,w_m\}$. 其中每个单词(word) $w_i$ 的长度均为 $n$,  即形如

\[
w_i=z_{i_1}z_{i_2}\cdots z_{i_n},
\]

这里 $z_{i_j}\in\{a,b,c\}$, 并且要求 $z_{i_j}z_{i_{j+1}}\neq aa$, 对任意 $i,j$.

求 $|S|$.


记 $f(n)=|S|$.

例如: 当 $n=3$ 时, 单词形如 [x][x][x] ,  这里 x 可以取 a,b,c 之一, 因此总的情形有 $3^3=27$ 种. 但是要排除连续两个 $a$ 的情形. [a][a][x], [x][a][a],  这种类型的共有 2+2+1=5 种. 因此 $f(3)=27-5=22$.

易见, $f(2)=3^2-1=8$, $f(1)=3$.

 

7. [Ex.6.6-6]

Posted by haifeng on 2019-05-24 16:44:15 last update 2019-05-24 17:51:18 | Answers (1) | 收藏


某人上一共有 $n$ 级台阶的楼梯. 如果规定他每步只能上一级台阶或三级台阶, 问有多少种不同的上楼梯方法?

 

记号:

$f(n)$ 指对于 $n$ 级台阶上楼梯的方案总数.


[分析]

当 $n=6$ 时, 上楼梯的方案有 $f(6)=6$ 种:

  • 1,1,1,1,1,1
  • 1,1,1,3
  • 1,1,3,1
  • 1,3,1,1
  • 3,1,1,1
  • 3,3

当 $n=5$ 时, 上楼梯的方案有以下 $f(5)=4$ 种:

  • 1,1,1,1,1
  • 1,1,3
  • 1,3,1
  • 3,1,1

当 $n=4$ 时, 上楼梯的方案有以下 $f(4)=3$ 种:

  • 1,1,1,1
  • 1,3
  • 3,1

当 $n=3$ 时, 上楼梯的方案有以下 $f(3)=2$ 种:

  • 1,1,1
  • 3

 

因此, 一种办法是可以按有几个3来分类.

例如: 当 $n=7$ 时, $n\equiv 1\pmod 3$, 此时 $[\frac{n}{3}]=[\frac{7}{3}]=2$.

  • 0个3, 有 1 种. ($11\ldots1$)
  • 1个3, 有 $C_5^1$ 种. (31111, 13111, 11311, 11131, 11113)
  • 2个3, 有 $C_3^1$ 种. (331, 313, 133)

故 $f(7)=1+C_5^1+C_3^1=9$.


当 $n=8$ 时, $n\equiv 2\pmod 3$, 此时 $[\frac{n}{3}]=[\frac{8}{3}]=2$.

  • 0个3, 有 1 种. ($11\ldots1$)
  • 1个3, 有 $C_6^1$ 种.
  • 2个3, 有 $C_3^1+C_3^2$ 种. (将 33 放到 []1[]1[] 中, 分两种情形, 33 不分离, 33 分离)

故 $f(8)=1+C_6^1+(C_3^1+C_3^2)=13$.


当 $n=9$ 时, $n\equiv 0\pmod 3$, 此时 $[\frac{n}{3}]=[\frac{9}{3}]=3$.

  • 0个3, 有 1 种. ($11\ldots1$)
  • 1个3, 有 $C_7^1$ 种.
  • 2个3, 有 $C_4^1+C_4^2$ 种. (将 33 放到 []1[]1[]1[] 中, 分两种情形, 33 不分离, 33 分离)
  • 3个3, 有 1 种.

故 $f(9)=1+C_7^1+(C_4^1+C_4^2)+1=19$.


当 $n=10$ 时, $n\equiv 1\pmod 3$, 此时 $[\frac{n}{3}]=[\frac{10}{3}]=3$.

  • 0个3, 有 1 种. ($11\ldots1$)
  • 1个3, 有 $C_8^1$ 种.
  • 2个3, 有 $C_5^1+C_5^2$ 种. (将 33 放到 []1[]1[]1[]1[] 中, 分两种情形, 33 不分离, 33 分离)
  • 3个3, 有 $C_4^1$ 种.

故 $f(10)=1+C_8^1+(C_5^1+C_5^2)+1=28$.


一般的, 记 $[\frac{n}{3}]=k$, $n\equiv r\pmod 3$. 于是,

  • 0个3, 有 1 种. ($11\ldots1$, $n$ 个 1.)
  • 1个3, 有 $C_{n-2}^1$ 种.
  • 2个3, 有 $C_{n-6+1}^1+C_{n-6+1}^2$ 种. (将 33 放到 []1[]1[]...[]1[] 中, 分两种情形, 33 不分离, 33 分离)
  • $j$个3, 则剩余 $n-3j$ 个 1. 但是这种分析会比较复杂. 还要分 $j$ 是奇数和偶数的情形.

 

因此, 可以从另一个角度来考虑这个问题. 比如, 能否写出递推关系?

 

通过上面的计算,  我们得到前若干个 $f(n)$:

\[
1,1,2,3,4,6,9,13,19,28,\ldots
\]

因此, 猜测有

\[
f(n)=f(n-1)+f(n-3),\quad n\geqslant 4.
\]

试证明之.

8. [Ex.6.6.-3]

Posted by haifeng on 2019-05-24 16:37:58 last update 2019-05-24 16:37:58 | Answers (0) | 收藏


一个慢跑者在平面上沿着他喜欢的路径跑步, 突然一只狗攻击他, 这只狗以恒定速率跑向慢跑者, 狗的运动方向始终指向慢跑者, 计算并画出狗的轨迹.

9. [Ex.6.6-1]

Posted by haifeng on 2019-05-24 16:35:49 last update 2019-05-24 16:35:49 | Answers (0) | 收藏


设一容积为 $V$ (单位: $m^3$)的大湖受到某种物质的污染, 污染物均匀地分布在湖中.

若从某时刻起污染源被切断, 设湖水更新的速率是 $r$ (单位: $m^3/\text{天}$).

试建立求污染物浓度下降至原来的 $5%$ 需要多少时间的数学模型.

 

美国密歇根湖的容积为 $4871\times 10^9 m^3$, 湖水的流量为 $3.663959132\times 10^10 m^3/\text{天}$, 求污染中止后, 污染物浓度下降到原来的 $5%$ 所需要的时间.


 

10. [Ex5.9-3]

Posted by haifeng on 2019-04-26 16:38:34 last update 2019-04-26 16:38:34 | Answers (1) | 收藏


在一个城市交通系统中取出一段如下图所示, 其入口为顶点 $v_1$, 出口为顶点 $v_8$. 每条弧段旁的数字表示通过该路段所需的时间. 每次转弯需要附加时间为 3 秒.

求 $v_1$ 到 $v_8$ 的最短时间路径.

 

 

 


 

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