某工厂利用两种原料甲、乙生产 $A_1,A_2,A_3$ 三种产品. 每月可供应的原料数量(单位: 吨(t))、每万件产品所需各种原料的数量及每万件产品的价格如下表所示:

(1) 试制定每月最优生产计划, 使得总收益最大;

(2) 对求得的最优生产计划进行灵敏度分析.

某工厂用 $A_1$, $A_2$ 两台机床加工 $B_1,B_2,B_3$ 三种不同零件. 已知在一个生产周期内 $A_1$ 只能工作 80 机时, $A_2$ 只能工作 100 机时. 一个生产周期内计划加工 $B_1$ 70 件、 $B_2$ 50 件、 $B_3$ 20 件. 两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本, 分别如下列各表所示:

问怎样安排两台机床一个周期的加工任务, 才能使加工成本最低?

解答参见 问题2087

某养鸡场有 1000 只鸡, 用动物饲料和谷物饲料混合喂养, 每天每只鸡平均食混合饲料 0.5kg, 其中动物饲料所占比例不能少于 20%.

动物饲料每千克 0.30 元, 谷物饲料每千克 0.18 元, 饲料公司每周仅保证供应谷物饲料 6000 kg.

问饲料怎样混合, 才能使成本最低?

解答参见 问题2086

Book P48, Ex 1.
 

这篇博文讲得比较好

https://blog.csdn.net/theonegis/article/details/78256156

建立优化问题的数学模型, 首先要确定问题的决策变量, 决策变量含有多个因素, 因此一般用向量 $\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^T$ 来表示. 当然这些 $x_i$ 是有限定范围的. 设 $\vec{x}\in\Omega$, 称 $\Omega$ 为可行域.

另外这些变量 $x_i$ 之间满足一些约束条件, 记为 $g_i(\vec{x})\leqslant 0$, $(i=1,2,\ldots,m)$. 从而数学模型可以表示如下:

\[
\begin{aligned}
&\min_{\vec{x}\in\Omega} z=f(\vec{x})\qquad(1)\\
\text{s. t.} \ &g_i(\vec{x})\leqslant 0,\quad\text{for}\ i=1,2,\ldots,m.\qquad(2)
\end{aligned}
\]

由上述 (1) 和 (2) 组成的模型属于约束优化, 若只有 (1) 式, 则称为无约束优化, $f(x)$ 称为目标函数, 而 $g_i(\vec{x})\leqslant 0$, $(i=1,2,\ldots,m)$ 称为约束条件.

当 $f(x)$ 和 $g_i(x)$ 均为线性函数时, 上述优化问题称为线性规划问题. 只要其中某个函数是非线性的, 则称为非线性规划问题.

决策变量、目标函数、约束条件构成了线性规划的三个基本要素.

对于线性规划问题, 若决策变量的取值限定为整数, 则称之为整数线性规划问题.

对于线性规划问题, 由于 $g_i(x)\leqslant 0$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的超平面, 因此可行域 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的凸多面体. 从而 $f(x)$ 的最优值一定在该凸多面体 $\Omega$ 的某个顶点处取得(也可能在 $\Omega$ 的某个线段或某个面或某个高维的边界上取得).

不妨设 $g_i(x)=a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n-b_i\leqslant 0$, 于是 $g_i(x)\leqslant 0$, $i=1,2,\ldots,m$ 可以改写为

\[
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}
\leqslant
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_n
\end{pmatrix}
\]

在实际问题中, 对于不等式 $g_i(x)=a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n\leqslant b_i$ 不要进行约化.  我们一般称 $b_i$ 为第 $i$ 种资源的供给量.

我们会求第 $i$ 种资源的影子价格(dual price), 以及 $b_i$ 可以变动的范围(Range). 研究 $b_i$ 的变动范围, 被称为敏感分析.

所谓影子价格, 实际上是效益 $z$ 关于 $b_i$ 的偏导数.

蒙特卡罗（Monte Carlo）方法是一种应用随机数来进行模拟试验的方法.

此方法对研究的系统进行随机观察抽样, 通过对样本值的观察统计, 求得所研究系统的某些参数.

讲课内容

1. 人口模型

• 马尔萨斯模型
• 阻滞增长模型

2.  MATLAB 基础

• MATLAB 基础一
• MATLAB 基础二

3.  线性规划

4.  非线性规划

5.  网络优化

6.  微分方程与差分方程

7.  插值与拟合

8.  数据的统计描述

9.  统计分析

10.  模糊综合评判

11.  计算机模拟

12.  智能算法

教材：

赵静、但琦 主编《数学建模与数学实验》（第 4 版）

在马尔萨斯模型中, 人口的增长是没有任何限制的. 基本假设是人口增长率是当前人口数量的常数倍. 这将导致人口呈指数式增长.

这与实际情况不符. 事实上, 随着人口的增长, 所消耗的食物、水、能源等越来越多, 这些自然资源并不是无限供给的, 而且其提供有着自然规律, 即使随着科技水平的提高, 其增长也是有限的, 受到许多因素的制约. 因此, 当人口增长到一定数量后, 人口增长率就会随着人口的增加而减少.

人口数量是 $x(t)$, $t$ 指时间. 人口增长率 $r$, 它是关于人口数量的函数, 即 $r=r(x)$.

假设：

(1) $r(x)=\lambda-sx$. 这里称 $\lambda$ 为固有增长率.

(2) 自然资源和环境条件年容纳的最大人口数量为 $x_m$.

建立模型：

当 $x=x_m$ 时, 增长率为 0, 代入 $r(x)=\lambda-sx$, 得 $s=\frac{\lambda}{x_m}$. 于是有

\[
r(x)=\lambda-\frac{\lambda}{x_m}x=\lambda(1-\frac{x}{x_m}).
\]

于是, 我们的模型方程为

\[
\begin{cases}
\frac{dx}{dt}=\lambda(1-\frac{x}{x_m})x\\
x(0)=x_0.
\end{cases}
\]

模型求解：

这个方程的一般形式见 问题1950 . 属于更为一般的 Bernoulli 方程, 参见 问题1959, 问题1952 .

\[
x(t)=\dfrac{x_m}{1+(\frac{x_m}{x_0}-1)e^{-\lambda t}}.
\]

References:

赵静等主编 《数学建模与数学实验》（第4版）

英国人口学家马尔萨斯（Malthus, 1766--1834）于1798年提出了马尔萨斯模型.

马尔萨斯模型的基本假设是：

考虑某个对象关于时间的数量函数 $f(t)$. 设其增长率与当前的值之比是常数, 也即 $f'(t)=kf(t)$.

因此, 得到常微分方程模型:

\[
\begin{cases}
\frac{df}{dt}=kf(t),\\
f(0)=f_0.
\end{cases}
\]
 

解得

\[
f(t)=f_0e^{kt}.
\]

这是一个指数增长模型.

Remark:

没有限制的自然增长是危险的, 比如微生物实验初期，可以用此模型.

如果 $f'(t)$ 与 $f(t)$ 是非线性的关系, 则不属于马尔萨斯模型.

人口问题一直是世界各国所关心的问题，无论处于哪个阶段。

Q1.  在哪里获取人口数据?

一般在官方网站或者权威网站上查询，比如

关于美国人口数据，https://www.census.gov/

国内的数据需要多方面查询，例如百度文库

全国各省2000——2009年人口统计数据

https://wenku.baidu.com/view/fe293321482fb4daa58d4b70.html?sxts=1551187742134

Q2. 如何分析这些数据?

使用 MATLAB 等软件

Q3. 人口变化的数学模型

为何早期提出马尔萨斯人口模型（指数增长模型），后来又改用 Logistic 模型（阻滞增长模型）？

References:

赵静等主编 《数学建模与数学实验》（第4版）