问题及解答

在马尔萨斯模型中, 人口的增长是没有任何限制的. 基本假设是人口增长率是当前人口数量的常数倍. 这将导致人口呈指数式增长.

这与实际情况不符. 事实上, 随着人口的增长, 所消耗的食物、水、能源等越来越多, 这些自然资源并不是无限供给的, 而且其提供有着自然规律, 即使随着科技水平的提高, 其增长也是有限的, 受到许多因素的制约. 因此, 当人口增长到一定数量后, 人口增长率就会随着人口的增加而减少.

人口数量是 $x(t)$, $t$ 指时间. 人口增长率 $r$, 它是关于人口数量的函数, 即 $r=r(x)$.

假设：

(1) $r(x)=\lambda-sx$. 这里称 $\lambda$ 为固有增长率.

(2) 自然资源和环境条件年容纳的最大人口数量为 $x_m$.

建立模型：

当 $x=x_m$ 时, 增长率为 0, 代入 $r(x)=\lambda-sx$, 得 $s=\frac{\lambda}{x_m}$. 于是有

\[
r(x)=\lambda-\frac{\lambda}{x_m}x=\lambda(1-\frac{x}{x_m}).
\]

于是, 我们的模型方程为

\[
\begin{cases}
\frac{dx}{dt}=\lambda(1-\frac{x}{x_m})x\\
x(0)=x_0.
\end{cases}
\]

模型求解：

这个方程的一般形式见 问题1950 . 属于更为一般的 Bernoulli 方程, 参见 问题1959, 问题1952 .

\[
x(t)=\dfrac{x_m}{1+(\frac{x_m}{x_0}-1)e^{-\lambda t}}.
\]

References:

赵静等主编 《数学建模与数学实验》（第4版）

将方程写为 Bernoulli 方程的一般形式

\[
x'(t)-\lambda x=-\frac{\lambda}{x_m}x^2.
\]

这里 $n=2$, 因此令 $u=x^{1-2}=\frac{1}{x}$. （这里假设 $x$ 不恒为零. 由 $x(0)=x_0$, 一般 $x_0$ 不等于零, 所以 $x$ 一般情形下确实不恒为零.）

于是原方程化为

\[
\frac{x'(t)}{x^2}-\frac{\lambda}{x}=-\frac{\lambda}{x_m}.
\]

注意到 $u'(t)=(\frac{1}{x})'t=-\frac{1}{x^2}\cdot x'(t)$, 因此原方程化为

\[
u'(t)+\lambda u(t)=\frac{\lambda}{x_m}.
\]

这是一阶线性非齐次常微分方程. 根据求解公式

\[
u(t)=e^{-\int P(t)dt}\biggl[\int Q(t)e^{\int P(t)dt}dt+C\biggr]
\]

这里 $P(t)=\lambda$, $Q(t)=\frac{\lambda}{x_m}$,

得

\[
\begin{split}
u(t)&=e^{-\int\lambda dt}\biggl[\int\frac{\lambda}{x_m}e^{\int\lambda dt}dt+C\biggr]\\
&=e^{-\lambda t}\biggl[\int\frac{\lambda}{x_m}e^{\lambda t}dt+C\biggr]\\
&=e^{-\lambda t}\biggl[\frac{1}{x_m}e^{\lambda t}+C\biggr]\\
&=\frac{1}{x_m}+Ce^{-\lambda t}.
\end{split}
\]

根据初始条件, $u(0)=\frac{1}{x(0)}=\frac{1}{x_0}$, 得 $\frac{1}{x_0}=\frac{1}{x_m}+C$, 故有

\[
C=\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x_m}=\frac{x_m-x_0}{x_0x_m}.
\]

于是

\[
u(t)=\frac{1}{x_m}+\frac{x_m-x_0}{x_0x_m}e^{-\lambda t}.
\]

因此

\[
x(t)=\frac{1}{u(t)}=\dfrac{1}{\frac{1}{x_m}+\frac{x_m-x_0}{x_0x_m}e^{-\lambda t}}=\dfrac{x_m}{1+(\frac{x_m}{x_0}-1)e^{-\lambda t}}.
\]