定理. 设 $V$ 是一紧致连通可定向带边界 $\partial V$(可能为空)的 $n$ 维流形, 设 $S^n$ 是具有黎曼度量 $g$ 的 $n$ 维球面. 则缩放量度(dilatation)小于等于 $D$ 的映射 $(V,\partial V)\rightarrow (S^n,s_0)$ 的同伦类的个数 $\#(D)$ 趋近于 $c_g D^n\mathrm{vol}(V)$, 即当 $D\rightarrow\infty$ 时,

  \[
  \#(D)D^{-n}\rightarrow c_g\mathrm{vol}(V)
  \]
  这里 $c_g$ 是依赖于度量 $g$ 的某个常数, 但其独立于 $V$, 也与 $s_0\in S^n$ 的选取无关.

References:

Gromov, Metric structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces. [Chapter 2. Section D.]

设 $X,Y$ 是两个度量空间, 它们之间的 Lipschitz 距离 (Lipschitz distance) 定义为

\[d_L(X,Y)=\inf_{f\in\text{biLh(X,Y)}}\{|\log\text{dil}(f)|+|\log\text{dil}(f^{-1})|\}\]

其中 $\text{biLh(X,Y)}$ 指 $X$ 到 $Y$ 的所有双 Lipschitz 同胚（bi-Lipschitz homeomorphisms）组成的集合.

我们约定当 $X,Y$ 之间不存在双 Lipschitz 同胚时, $d_L(X,Y)=\infty$.

显然 $d_L$ 是对称的, 满足三角不等式, 而且当 $X,Y$ 是等距同构(isometric)时, 有 $d_L(X,Y)=0$.

Prop. 如果度量空间 $X,Y$ 满足 $d_L(X,Y)=0$, 则它们是等距同构的.

Chapter 3. Metric Structures on Families of Metric Spaces

A. Lipschitz and Hausdorff distance

B. The noncompact case

C. The Hausdorff-Lipschitz metric, quasi-isometries, and word metrics

$D_+$. First-order metric invariants and ultralimits

$E_+$. Convergence with control

1.20 对于道路度量空间来说, 要求它们之间的映射是等距同构或者即便是局部等距同构都太严格了, 以至于很少能获得丰富的态射类.

举个例子, 局部等距同构于 $\mathbb{R}^n$ 的任意 $n$ 维流形必是平坦的.

因此我门考虑一个更弱的概念 --- 保弧长映射(arc-wise isometries)

1.21 Def. 设 $f:X\rightarrow Y$ 是道路度量空间 $X,Y$ 之间的一个映射, $f$ 称为是保弧长映射(arc-wise isometry), 如果对 $X$ 中每条 Lipschitz 曲线 $c:I\rightarrow X$, 均有 $\ell(f\circ c)=\ell(c)$, 也即 $f$ 保持 Lipschitz 曲线的长度.

例子:

(1) 每个分段 $C^1$-光滑的闭曲线都存在到 $\mathbb{R}$ 的一个保弧长映射.

(2) 每个 $n$-维平坦流形($n<5$)都有到 $\mathbb{R}^n$ 的一个保弧长映射, 并且还是分段线性的.
参见[Zalg],
[Zalg] Zalgaller, V.A., Isometric embeddings of polyhedra, Dokl. Acad. Nauk. SSSR, 123(1958) 599-601.
此问题对于 $n\geqslant 5$ 仍是 *open* 的.

Victor (Viktor) Abramovich Zalgaller

(3) 一个直观且合理的性质是:

设 $X,Y$ 是两个道路度量空间, 且 $\dim(X)>\dim(Y)$, 则不存在 $X$ 到 $Y$ 的保弧长映射.

对 $C^1$-映射来说, 证明是平凡的, 但对于一般情形, 则并不显然. 该证明用到了 Rademacher 定理(cf.$[Fred]_{GMT}$ 3.1.6)

利用 Nash 和 Kuiper 方法, 我们得到了一些结果, 在此列出作为本章的结束.

1.22 定理: 设 $X,Y$ 是黎曼流形, 且 $\dim(X)\leqslant\dim(Y)$, 则存在从 $X$ 到 $Y$ 的一个保弧长映射. 特别的, 看上去让人难以置信的是, 每个 $n$ 维黎曼流形都存在到 $\mathbb{R}^n$ 的一个保弧长映射. 当然, 这样的映射一般不是 $C^1$ 的!

1.23 一个逼近问题(An approximation problem)

给定 Lipschitz 映射 $f_0:X\rightarrow Y$, ($X,Y$ 是两个道路度量空间). 任给 $\varepsilon>0$, 是否存在一个保弧长映射 $f_\varepsilon:X\rightarrow Y$, 使得
\[
d(f_0,f_\varepsilon)=\sup_{x\in X}d(f_0(x),f_\varepsilon(x))\leqslant\varepsilon
\]

成立?

显然, 如果存在这样的逼近, 必有 $\text{dil}(f_0)\leqslant 1$.

1.24 定义. 设 $f:X\rightarrow Y$ 是道路度量空间 $X,Y$ 之间的映射, $f$ 称为 short 的, 如果 $\text{dil}(f)\leqslant 1$; $f$ 称为严格 short 的, 如果 $\text{dil}(f)<1$.

1.25 定理(cf.$[Gro]_{PDR}$) 设 $X,Y$ 是两个黎曼流形, 且 $\dim(X)\geqslant\dim(Y)$, 设 $f:X\rightarrow Y$ 是严格 short 的 Lipschitz 映射, 则上面的逼近问题有解. 即对任意 $\varepsilon>0$, 存在一个保弧长映射 $f_\varepsilon:X\rightarrow Y$, 使得
\[
d(f,f_\varepsilon):=\sup_{x\in X}d(f(x),f_\varepsilon(x))\leqslant\varepsilon.
\]

$1.19_{+}$ 曲率(Curvature)

对于任意的度量空间 $X$, 很难找到一个有说服力的关于曲率(张量)的定义, 但我们可以将某些类别的度量空间给区别开来, 使他们对应到给定某类型的曲率的黎曼流形. 我们可以这样来做, 比如, 将 $X$ 中点的有限个构型(finite configurations)相互之间的距离强加上不等式.

更确切地, 记 $M_r=\{A_{r\times r}|A^T=A\}$, 即所有 $r$-阶对称矩阵构成的空间. 并令 $K_r(X)\subset M_r$ 为
\[
K_r(X)=\{(m_{ij})_{r\times r}\in M_r\mid m_{ij}=\text{dist}(x_i,x_j),\ \forall x_1,x_2,\ldots,x_r\in X\},
\]
$K_r(X)$ 即指由 $X$ 中所有 $r$ 个点之间的距离作为矩阵元素所构成的对称矩阵的集合.

于是 $M_r$ 中每个子集 $\mathcal{K}\subset M_r$ 定义了(整体) $\mathcal{K}$-曲率类(curvature class)和局部 $\mathcal{K}$-曲率类. 整体 $\mathcal{K}$-曲率类指满足 $K_r(X)\subset\mathcal{K}$ 的度量空间 $X$; 局部 $\mathcal{K}$-曲率类指这样的度量空间 $X$, 其中每个点 $x\in X$ 存在一个邻域 $U$, 使得 $K_r(U)\subset\mathcal{K}$.
 

Introduction: Metrics Everywhere

Table of Contents

第一章 长度结构: 道路度量空间

(Length Structures: Path Metric Spaces)

介绍

在经典黎曼几何中, 我们从光滑流形 $X$ 开始, 然后研究丛 $S^2T^*X$ 的光滑、正定截面 $g$. 为了引进协变导数和曲率的基本概念(cf.[Grl-Kl-Mey] or [Milnor]${}_{MT}$, Ch.2), 仅运用了 $g$ 的可微性而并未用到它的正定性, 正如在广义相对论中使用洛伦兹几何(Lorentzian geometry)阐述的那样. 与之对比, $X$ 中曲线长度的概念以及相应于度量 $g$ 的测地距离概念依赖于下面的事实: $g$ 在 $X$ 的切空间 $T_x X$ 上给出了一族连续范数. 我们将研究长度(length)和距离(distance)的相关概念.

A. 长度结构(Length Structures)

1.1 Def.

设 $X,Y$ 是两个度量空间, 映射 $f:X\rightarrow Y$ 的 dilatation (缩放量度)定义为

\[
\text{dil}(f):=\sup_{x_1,x_2\in X, x_1\neq x_2}\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)}
\]

这里 $d_X,d_Y$ 分别指度量空间 $X,Y$ 上的距离函数. 显然 $\text{dil(f)}\in[0,+\infty]$.

为方便, 定义 $X\times X$ 上的函数 $\text{dil}_f$ 为:

\[
\text{dil}_f(x_1,x_2):=\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)},
\]

于是,

\[
\text{dil}(f)=\sup_{x_1,x_2\in X, x_1\neq x_2}\text{dil}_f(x_1,x_2).
\]

也可以定义 $f$ 在一点处的局部缩放量度(local dilatation):

\[
\begin{split}
\text{dil}_x(f):=&\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\text{dil}(f|_{B(x,\varepsilon)})\\
=&\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\sup_{s,t\in B(x,\varepsilon),s\neq t}\frac{d_Y(f(s),f(t))}{d_X(s,t)}.
\end{split}
\]

映射 $f$ 称为

• Lipschitz 的, 如果 $\text{dil}(f) < +\infty$;
• $\lambda$-Lipschitz 的, 如果 $\text{dil}(f)\leqslant\lambda$.

此时称 $\text{dil}(f)$ 为 $f$ 的 Lipschitz 常数. 也记为 $\text{Lip}(f)$.

易见, Lipschitz 常数等价于下面的定义:

\[
\text{Lip}(f):=\sup_{B\subset X}\frac{\text{diam}_Y(f(B))}{\text{diam}_X(B)}.
\]

其中 $\text{diam}_Y()$ 是指在度量空间 $Y$ 中的直径函数. 上确界是对于取遍 $X$ 中的有界集而言的.

Question: 证明上面两种定义是等价的. (证明见 问题944)

Claim: 若 $f:[a,b]\rightarrow X$ 是 Lipschitz 映射, 则函数 $t\mapsto\mathrm{dil}_t(f)$ 是可测的.

Pf. 参见问题961

1.2 Def. 设 $f:[a,b]\rightarrow X$ 是 Lipschitz 映射, 定义 $f$ 的长度(length)为

\[\ell(f):=\int_a^b\text{dil}_t(f)dt.\]

Introduction: Metrics Everywhere

Chapter 1. Length Structures: Path Metric Spaces

Chapter 2. Degree and Dilatation

Chapter 3. Metric Structures on Families of Metric Spaces

Chapter 3.5 Convergence and Concentration of Metrics and Measures

Chapter 4. Loewner Rediscovered

Chapter 5. Manifolds with Bounded Ricci Curvature

Chapter 6. Isoperimetric Inequalities and Amenability

Chapter 7. Morse Theory and Minimal Models

Chapter 8. Pinching and Collapse

Appendix

A. "Quasiconvex" Domains in $\mathbb{R}^n$

B. Metric Spaces and Mappings Seen at Many Scales

C. Paul Levy's Isoperimetric Inequality

D. Systolically Free Manifolds

    原书: Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces
    作者: Misha Gromov with Appendices by M. Katz, P.Pansu, and S.Semmes
    丛书: Progress in Mathematics Volume152
    出版社: Birkh\"{a}user
    (注意: 本文是译注, 所以不一定按原文逐字逐句翻译.
    译者不保证翻译的准确性, 如有疑问请查原文.)

Table of Contents

介绍: 度量无处不在

"距离"这一概念早已出现在我们的日常语言中, 通常是指两个物体或两个抽象事物之间分离的远近. 该含糊的思想在数学中最通常(但并不是最一般)的体现就是度量空间这个概念. 
 
如果对一个抽象集合 $X$, 任两点对应到一个实数, 即若给定一个函数 $d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}_{+}$, 要求 $d$ 满足著名的三角不等式
\[
d(x,x'')\leqslant d(x,x')+d(x',x'')\quad\forall\ x,x',x''\in X,
\]
则称 $(X,d)$ 为一度量空间.
 
此外, 可能有人会坚持要求该距离函数 $d$ 是对称的, 即 $d(x,x')=d(x',x)$. (这实际上会限制许多应用: 比如在实际生活中(数学上也是), 从山脚登到山顶所花的力气与下山所花的力气是不一样的.)
 
最后, 我们还假设 $d(x,x)=0,\,\forall\, x\in X$. 并且还要求满足下面的分离公理: 若 $x\neq x'$,则 $d(x,x')\neq 0$. 这看上去是一个无害的限定, 因为当 $d(x,x')=0$ 时, 我们总可以通过将 $x$ 和 $x'$ 等同来考虑所得的商空间. 但有时这个分离公理会变成一个争论的焦点. 比如, Kobayashi 度量和 Hofer 度量, 如果考虑此种等同, 则 $X$ 约化为一点.
 
欧氏空间 $\mathbb{R}^b$ 是重要的也是典型的度量空间的例子. 它上面两点 $x=(x_1,\ldots,x_n)$ 和 $x'=(x'_1,\ldots,x'_n)$ 之间的毕达哥拉斯距离定义为
\[
d(x,x')=\sqrt{(x_1-x'_1)^2+\cdots+(x_n-x'_n)^2}.
\]
 
接下来是欧氏空间 $(\mathbb{R}^n,d)$ 中的一些有趣的子集, 它们上面赋予了诱导度量. 如球面 $S^{n-1}=\{x\in\mathbb{R}^n\mid\sum_{i=1}^{n}x_i^2=1\}$ 和单位立方体的顶点集 $\{0,1\}^n\subset\mathbb{R}^n$ . 若设 $X$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的连通光滑子流形(如上面的球面), 于是除 $X$ 上的诱导欧氏距离 $\text{dist}_{\mathbb{R}^n}$ 外, 还有诱导的黎曼距离 $\text{dist}_X(x,x')$, 定义为 $X$ 中连接 $x$ 和 $x'$ 的所有曲线的长度的下确界. (注意这里要求曲线位于 $X$ 中.) 可以试着将上述作为黎曼度量的一个快速定义. 事实上, 根据 Nash 定理, 每个黎曼流形都能嵌入到某个欧氏空间中去, 并保持曲线的长度. 但欧氏度量隐藏而不是揭示了黎曼流形真实的度量结构, 这是由于存在无法控制的 distorsion $\text{dist}_X |  \text{dist}_{\mathbb{R}^n}$. 此外, 黎曼几何的优美与强大不仅依赖于度量, 而且依赖于相应的椭圆黎曼方程, 如 Laplace-Hodge 方程, Dirac 方程, Yang-Mills 方程等等. 它们很自然地与黎曼张量一起出现, 但是在 $X$ 嵌入到 $\mathbb{R}^n$ 中时几乎是不可见的.

我们关于一般度量空间的研究方法具有早期关于欧氏空间探索的无可否认的印记. 我们喜欢与 $\mathbb{R}^n$ 有某种共同性质的空间. 于是传统上我们会学习齐性空间 $X$, 它的等距群可迁地作用在 $X$ 上. （在黎曼情形, 这种齐性空间 $X$ 上的度量可通过在某个切空间 $T_{x_0}X$ 上限定一个正定二次型 $g_0$ 来完全确定. 但是这种描述的简洁性实际上有点虚幻: 通过 $g_0$ 来计算 $X$ 的度量不变量是十分困难的. 举个例子, one has a very limited idea of how systoles behave as one varies a left invariant metric on a Lie group $SO(n)$ or $U(n)$ for instance.） 除了等距同构, $\mathbb{R}^n$ 还拥有许多非平凡的自相似性(self-similarities), 比如, 满足 $f^*(\text{dist})=\lambda\text{dist}$ 的变换 $f$, 这里$\lambda\neq 0,1$. 在黎曼几何范畴内, 除了 $\mathbb{R}^n$ 外, 没有其他的自相似空间. --- 这是显然的 --- 但是存在有很多这样的非黎曼情形的例子, 比如 $p$-adic 向量空间(它们是完全不连通的), 以及一些连通的配有 Carnot-Carath\'{e}odory 度量的幂零李群(nilpotent Lie group)(比如: Heisenberg 群). (见附录 B 中的 1.4, 1.18 和 2.6.)

Switching the mental wavelength, 通过要求所在空间中很小的测地三角形比欧氏空间中相应的三角形来的更纤细(thinner)/或更丰厚(thicker)来引入曲率 $K\leqslant 0$ / 曲率 $K\geqslant 0$ 的空间. (见 1.19_{+}). 这里我们是通过一种特殊的齐性空间: 对称空间(symmetric spaces) 来推测的. 如 $K\geqslant 0$ 时的 $S^n$ 和 $\mathbb{C}P^n$, $K\leqslant 0$ 时的 $SL_n(R)/SO(n)$.

除了欧氏空间的直接 descendants 外, 有许多相应于各种不同结构的度量实例, 有时是相当意外和精妙的. 下面是一些例子.

复流形(Complex manifolds) 复向量空间 $\mathbb{C}^n$ ($n\geqslant 1$) 在全纯自同构(holomorphic automorphisms)下不具有度量不变量. 但是对于复流形(包括近复流形), 有许多这样的度量不变量. 例如: $\mathbb{C}^n$ 中的有界域, 具有这样的自然度量, 比如 Kobayashi 度量(见 1.8 $\text{bis}_+$).

辛流形(Symplectic manifolds) 没有哪个正维数的辛流形 $X$ 具有不变度量, 仍是因为辛同态群(the group of symplectmorphisms)太大了. 但是, $X$ 中的闭的 Lagrangian 子流形的无穷维空间(或者认为是这个空间的每个 "hamiltonian" 组成部分)确实具有这样的度量.(度量的构造是简单的, 但是分离性质的证明, Hofer 提供的, 却是十分深奥的. 可惜, 我们这本书中没有放置 Hofer 度量的地方了.)

同伦范畴(Homotopy category) 一旦无穷维的度量化的多面体(metric polyhedron)可以函子相关于拓扑空间 $X$ 的同伦类, 则空间之间的连续映射变换为多面体之间的距离缩减的映射. 令人惊奇的是, 这样的多面体的度量不变量(例如: 其 systoles, 实现限定同伦类的极小簇的体积.)导致了一个新的同伦不变量, 它对于具有大基本群的(非球面)空间 $X$ 有很大帮助.

离散群(Discrete groups) 一个由有限个不同生成元构成的群可以配有一个自然度量, 它是 bi-Lipschitz 的, 即当生成元变动, 它只能适度地变动. 于是, 通过采用来自于非紧黎曼流形几何的思想, 定义了关于无穷群的渐近不变量, 它们对于群理论的整体有了新的认识. (参见 3C, 5B 和 6B, C.)

Lipschitz and bi-Lipschitz 度量空间之间最本质的映射是什么? 如果是“等距同构(isometric)”, 则将导致一个贫乏且令人厌烦的一个范畴. 最慷慨的反映“连续(continuous)”则会将我们从几何中带离至纯拓扑王国. 通过强调距离缩减映射 $f:X\rightarrow Y$, 还有一般的 $\lambda$-Lipschitz 映射(即映射下距离增大的因子至多是 $\lambda$, 这里 $\lambda\geqslant 0$), 我们将这两种极端折中一下.

等距同构在这个范畴中是 $\lambda$-bi-Lipschitz 同胚. 本书中定义的大多数度量不变量在 $\lambda$-Libschitz 映射下被转换为 $\lambda$-控制形式. 举个例子, 空间的直径, $\text{Diam}X=\sup_{x,x'}\text{dist}(x,x')$. 我们将研究那些对于 systoles(i.e.,量度 $X$ 中同调类极小体积)作特殊处理(见 Ch.4 和 App. D)的不变量的某些种类, 以及对完备黎曼流形和与第 6 章中拟共形映射和拟正规映射相联系的无限群的isoperimetric profiles 作特殊处理的不变量的某些种类.

渐近观点(Asymptotic viewpoint) 由于紧致黎曼流形之间每个微分同胚都是 $\lambda$-bi-Lipschitz 的(这里 $\lambda<+\infty$), 因此如果我们只考虑固定的一个紧致黎曼流形 $X$, 则我们所研究的不变量告诉我们的信息将很少. 在 $\lambda$-Lipschitz 环境中真正令人感兴趣的是紧致空间序列的度量行为. 这个观念应用到比如一个单独的非紧空间 $X$ 上时, 那里的渐近几何(asymptotic geometry)可以为视为 $X$ 被一列增长的紧致子空间所穷竭. 我们也研究两个固定的空间 $X,Y$ 之间的映射序列 $f_i:X\rightarrow Y$ 以及映射的同伦类(见 Ch.2,7). 并且将渐近的度量行为与 $X,Y$ 的同伦结构相联系.(有很多基本问题仍然是公开的.)

Metric sociology

在将我们的视点从单一空间 $X$ 转向一空间簇(如: 一列这样的空间)时, 我们同时去观察这些度量空间, 发现度量空间与度量空间之间有几个令人满意的概念(见第三章). 于是对于一列空间 $X_i$, 可以有几种不同的度量收敛方式收敛到空间 $X$. 例如: 若 $X_i\ (i=1,2,\ldots,)$ 均是 $n$-维黎曼空间, 且截面曲率有固定的界, 则存在一个子列收敛(或塌缩[collapse])到一个维数小于等于 $n$ 的 mildly singular space (见第八章).

Metric, Measure and Probability

假设我们的度量空间额外地给定了一些测度, 例如: 当我们考虑紧致黎曼流形时, 考虑上面的标准黎曼测度. 这里有几个关于空间模去测度趋于零的子集所得空间的度量收敛概念(见第 $3\frac{1}{2}_+$ 章). 于是当 $\dim X_i\rightarrow\infty$ 时, 对于这样的空间列 $X_i$, 用弱收敛更合适. 据此, 具有标准黎曼测度的单位球序列 $S^i\subset\mathbb{R}^{i+1}$ 收敛到(或者 concentrate, 见第 $3\frac{1}{2}_+$ 章)具有单位质量的一个原子! 这可以被视为在当前条件下根据球面等周不等式(spherical isoperimetric inequality)所导出的大数定律(law of large numbers)的一个几何版本.(参见第 $3\frac{1}{2}_+$ 章第 E 节 和附录 C.)

从局部到整体. 这是几何也是分析中大多数领域的一个指导原则. 在我们书中的每个角落, 读者都能发现它. 在第5章中将尤其明显, 那里我们将解释流形 $X$ 的 Ricci 曲率的下界是如何推出 measure doubling property 的, 即每个不是很大的半径为 $2r$ 的球 $B(2r)\subset X$ 的体积不大于 $\text{const}\cdot\text{Vol}B(r)$, 其中 $B(r)\subset B(2r)$ 与 $B(2r)$ 是同心球. 如果考虑 $X$ 的基本群, 则将导出若干拓扑结果(见 Ch. 5).

除了球的体积之外, Ricci 曲率还控制了流形 $X$ 的 isoperimetric profile. 例如: 球面等周不等式可推广到 $\text{Ricci}\geqslant -\text{const}$ 流形上(见附录 C).

度量空间上的分析. 光滑流形以及其上的那些无穷小线性的映射(maps being infinitesimally linear), 当将它们置于一个微观范围内观察的话, 看上去似乎是 plain 和 uneventful 的. 但是奇异分形空间及奇异映射(singular fractal spaces and maps)在任意小的局部尺度上都显示出千变万化的图案. 这其中的一些空间和映射是足够正则的(sufficiently regular), 例如它们可以拥有 doubling property, 并且为丰富多彩的几何分析的发展提供了肥沃的土壤. 这将在附录 B 中由 Stephen Semmes 来展示.

我已经完整地描述了这本书所讲的内容. 仅为了指出度量思想在数学各领域中的全方位应用, 就可能需要额外一卷.

Misha Gromov

April 1999

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第一章 长度结构: 道路度量空间