[Book/Gromov/D]Arc-wise isometries
1.20 对于道路度量空间来说, 要求它们之间的映射是等距同构或者即便是局部等距同构都太严格了, 以至于很少能获得丰富的态射类.
举个例子, 局部等距同构于 $\mathbb{R}^n$ 的任意 $n$ 维流形必是平坦的.
因此我门考虑一个更弱的概念 --- 保弧长映射(arc-wise isometries)
1.21 Def. 设 $f:X\rightarrow Y$ 是道路度量空间 $X,Y$ 之间的一个映射, $f$ 称为是保弧长映射(arc-wise isometry), 如果对 $X$ 中每条 Lipschitz 曲线 $c:I\rightarrow X$, 均有 $\ell(f\circ c)=\ell(c)$, 也即 $f$ 保持 Lipschitz 曲线的长度.
例子:
(1) 每个分段 $C^1$-光滑的闭曲线都存在到 $\mathbb{R}$ 的一个保弧长映射.
证明 这是显然的, 设 $\gamma$ 是这样的一条分段 $C^1$-光滑闭曲线, 任取上面一点 $P$, 且任取一个方向作为参数递增的方向. 不妨设 $s$ 是其弧长参数. 从而令 $f:\gamma\rightarrow\mathbb{R}$ 为 $f(P)=0$, $f(s)=s$. 此即所求的保弧长映射. 需要指出的是, 由于 $\gamma$ 是闭曲线, 因此当上面的点 $Q$ 沿着曲线参数增加方向绕曲线一周再回到点 $P$ 时, $f$ 将其映射为 $\text{length}(\gamma)$.
(2) 每个 $n$-维平坦流形($n<5$)都有到 $\mathbb{R}^n$ 的一个保弧长映射, 并且还是分段线性的.
参见[Zalg],
[Zalg] Zalgaller, V.A., Isometric embeddings of polyhedra, Dokl. Acad. Nauk. SSSR, 123(1958) 599-601.
此问题对于 $n\geqslant 5$ 仍是 *open* 的.
Victor (Viktor) Abramovich Zalgaller
(3) 一个直观且合理的性质是:
设 $X,Y$ 是两个道路度量空间, 且 $\dim(X)>\dim(Y)$, 则不存在 $X$ 到 $Y$ 的保弧长映射.
对 $C^1$-映射来说, 证明是平凡的, 但对于一般情形, 则并不显然. 该证明用到了 Rademacher 定理(cf.$[Fred]_{GMT}$ 3.1.6)
[Rademacher 定理] Rademacher 定理说的是: Lipschitz 映射几乎处处可微.
[Fred] Federer, H., Geometric Measure Theory, Springer, 1969.
利用 Nash 和 Kuiper 方法, 我们得到了一些结果, 在此列出作为本章的结束.
1.22 定理: 设 $X,Y$ 是黎曼流形, 且 $\dim(X)\leqslant\dim(Y)$, 则存在从 $X$ 到 $Y$ 的一个保弧长映射. 特别的, 看上去让人难以置信的是, 每个 $n$ 维黎曼流形都存在到 $\mathbb{R}^n$ 的一个保弧长映射. 当然, 这样的映射一般不是 $C^1$ 的!
1.23 一个逼近问题(An approximation problem)
给定 Lipschitz 映射 $f_0:X\rightarrow Y$, ($X,Y$ 是两个道路度量空间). 任给 $\varepsilon>0$, 是否存在一个保弧长映射 $f_\varepsilon:X\rightarrow Y$, 使得
\[
d(f_0,f_\varepsilon)=\sup_{x\in X}d(f_0(x),f_\varepsilon(x))\leqslant\varepsilon
\]
成立?
显然, 如果存在这样的逼近, 必有 $\text{dil}(f_0)\leqslant 1$.
证明
这是因为 $f_\varepsilon$ 是保弧长映射, 因此 $\text{dil}(f_\varepsilon)=1$. 从而,
\[
|f_0(x)-f_0(x\')|\leqslant|f_0(x)-f_\varepsilon(x)|+|f_\varepsilon(x)-f_\varepsilon(x\')|+|f_\varepsilon(x\')-f_0(x\')|
\]
这推出 $\text{dil}(f_0)\leqslant 1$.
1.24 定义. 设 $f:X\rightarrow Y$ 是道路度量空间 $X,Y$ 之间的映射, $f$ 称为 short 的, 如果 $\text{dil}(f)\leqslant 1$; $f$ 称为严格 short 的, 如果 $\text{dil}(f)<1$.
1.25 定理(cf.$[Gro]_{PDR}$) 设 $X,Y$ 是两个黎曼流形, 且 $\dim(X)\geqslant\dim(Y)$, 设 $f:X\rightarrow Y$ 是严格 short 的 Lipschitz 映射, 则上面的逼近问题有解. 即对任意 $\varepsilon>0$, 存在一个保弧长映射 $f_\varepsilon:X\rightarrow Y$, 使得
\[
d(f,f_\varepsilon):=\sup_{x\in X}d(f(x),f_\varepsilon(x))\leqslant\varepsilon.
\]
证明 定理($[Gro]_{PDR},3.1.7 (D), pp.249$). 设 $f_0:V\rightarrow W$ 是 $n$ 维 $C^\infty$ 黎曼流形 $V^n$ 与 $q$ 维 $C^\infty$ 黎曼流形 $W^q$ 之间的严格 short 映射. 并且 $q\geqslant(n+2)(n+3)/2$. 则对于 $f_0$, 存在一个 free isometric $C^\infty$ 映射 $f:V\rightarrow W$, 是 $f_0$ 的 $C^0$-逼近. $[Gro]_{PDR}$
Gromov, M., Partial Differential Relations, Springer, New York, 1986.
因此, 这里应该写错了, 而是 $\dim(X)\leqslant\dim(Y)$. （或者查看 Dusa McDuff 对此书所写的评论）