问题及解答

定理. 设 $V$ 是一紧致连通可定向带边界 $\partial V$(可能为空)的 $n$ 维流形, 设 $S^n$ 是具有黎曼度量 $g$ 的 $n$ 维球面. 则缩放量度(dilatation)小于等于 $D$ 的映射 $(V,\partial V)\rightarrow (S^n,s_0)$ 的同伦类的个数 $\#(D)$ 趋近于 $c_g D^n\mathrm{vol}(V)$, 即当 $D\rightarrow\infty$ 时,

  \[
  \#(D)D^{-n}\rightarrow c_g\mathrm{vol}(V)
  \]
  这里 $c_g$ 是依赖于度量 $g$ 的某个常数, 但其独立于 $V$, 也与 $s_0\in S^n$ 的选取无关.

References:

Gromov, Metric structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces. [Chapter 2. Section D.]