设 $X,Y$ 是两个度量空间, 它们之间的 Lipschitz 距离 (Lipschitz distance) 定义为
\[d_L(X,Y)=\inf_{f\in\text{biLh(X,Y)}}\{|\log\text{dil}(f)|+|\log\text{dil}(f^{-1})|\}\]
其中 $\text{biLh(X,Y)}$ 指 $X$ 到 $Y$ 的所有双 Lipschitz 同胚（bi-Lipschitz homeomorphisms）组成的集合.
我们约定当 $X,Y$ 之间不存在双 Lipschitz 同胚时, $d_L(X,Y)=\infty$.
显然 $d_L$ 是对称的, 满足三角不等式, 而且当 $X,Y$ 是等距同构(isometric)时, 有 $d_L(X,Y)=0$.
Prop. 如果度量空间 $X,Y$ 满足 $d_L(X,Y)=0$, 则它们是等距同构的.
1
我们证明三角不等式
设 $X,Y,Z$ 是三个度量空间, $f:X\rightarrow Y$ 和 $g:Y\rightarrow Z$ 都是双 Lipschitz 同胚, 则 $g\circ f:X\rightarrow Z$ 是 $X$ 到 $Z$ 的双 Lipschitz 同胚.
\[
\begin{split}
\text{dil}(g\circ f)&=\sup_{x,x\'\in X,\ x\neq x\'}\frac{d_Z(g\circ f(x),g\circ f(x\'))}{d_X(x,x\')}\\
&=\sup_{x,x\'\in X,\ x\neq x\'}\frac{d_Z(g\circ f(x),g\circ f(x\'))}{d_Y(f(x),f(x\'))}\cdot\frac{d_Y(f(x),f(x\'))}{d_X(x,x\')}\\
&\leqslant\text{dil}(g)\cdot\text{dil}(f),
\end{split}
\]
因此
\[\log\text{dil}(g\circ f)\leqslant\log\text{dil}(g)+\log\text{dil}(f).\]
注意根据此式不一定推出
\[|\log\text{dil}(g\circ f)|\leqslant|\log\text{dil}(g)|+|\log\text{dil}(f)|.\]
同理,
\[\log\text{dil}(f^{-1}\circ g^{-1})\leqslant\log\text{dil}(f^{-1})+\log\text{dil}(g^{-1}).\]
将这两个不等式相加, 得
\[\log\text{dil}(g\circ f)+\log\text{dil}((g\circ f)^{-1})\leqslant\log\text{dil}(f)+\text{dil}(f^{-1})+\log\text{dil}(g)+\log\text{dil}(g^{-1}).\]
根据 dilatation 的定义,
\[
\begin{split}
\text{dil}(f^{-1})&=\sup_{y,y\'\in Y,\ y\neq y\'}\frac{d_X(f^{-1}(y),f^{-1}(y\'))}{d_Y(y,y\')}\\
&=\frac{1}{\inf_{y,y\'\in Y,\ y\neq y\'}\frac{d_Y(y,y\')}{d_X(f^{-1}(y),f^{-1}(y\'))}}\\
&\geqslant\frac{1}{\sup_{x,x\'\in X,\ x\neq x\'}\frac{d_Y(f(x),f(x\'))}{d_X(x,x\')}}\\
&\geqslant\frac{1}{\text{dil}(f)},
\end{split}
\]
即 $\text{dil}(f)\cdot\text{dil}(f^{-1})\geqslant 1$. $\text{dil}(f)$ 与 $\text{dil}(f^{-1})$ 都是正数, 但两者不一定互为倒数. 因此, 我们有 $\log\text{dil}(f)+\log\text{dil}(f^{-1})\geqslant 0$.
于是,
\[0<\bigl|\log\text{dil}(g\circ f)+\log\text{dil}((g\circ f)^{-1})\bigr|\leqslant\bigl|\log\text{dil}(f)+\log\text{dil}(f^{-1})\bigr|+\bigl|\log\text{dil}(g)+\log\text{dil}(g^{-1})\bigr|\]
2
Pf of Prop.
$d_L(X,Y)=0$ 意味着存在一列双 Lipschitz 同胚映射 $f_n:X\rightarrow Y$, 使得 $|\log\text{dil}(f)|+|\log\text{dil}(f^{-1})|$ 趋向于 0.
因此, 每一项都趋于零. 也即, 存在这样的双 Lipschitz 同胚映射序列 $f_n$, 满足
\[1-\frac{1}{n}\leqslant\text{dil}(f_n)\leqslant 1+\frac{1}{n}\]
Lipschitz 函数族总是 (pre-)compact 的, 因此可以适用 Arzela-Ascoli 类型的论述.(也可见 问题966)
$\{f_n\}$ 是等度连续的,