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[Def] 两个度量空间之间的 Lipschitz 距离

Posted by haifeng on 2013-12-25 13:37:53 last update 2013-12-25 13:37:53 | Answers (2) | 收藏


设 $X,Y$ 是两个度量空间, 它们之间的 Lipschitz 距离 (Lipschitz distance) 定义为

\[d_L(X,Y)=\inf_{f\in\text{biLh(X,Y)}}\{|\log\text{dil}(f)|+|\log\text{dil}(f^{-1})|\}\]

其中 $\text{biLh(X,Y)}$ 指 $X$ 到 $Y$ 的所有双 Lipschitz 同胚(bi-Lipschitz homeomorphisms)组成的集合.

 

我们约定当 $X,Y$ 之间不存在双 Lipschitz 同胚时, $d_L(X,Y)=\infty$.

显然 $d_L$ 是对称的, 满足三角不等式, 而且当 $X,Y$ 是等距同构(isometric)时, 有 $d_L(X,Y)=0$.


 

Prop. 如果度量空间 $X,Y$ 满足 $d_L(X,Y)=0$, 则它们是等距同构的.