[Def] 两个度量空间之间的 Lipschitz 距离
设 $X,Y$ 是两个度量空间, 它们之间的 Lipschitz 距离 (Lipschitz distance) 定义为
\[d_L(X,Y)=\inf_{f\in\text{biLh(X,Y)}}\{|\log\text{dil}(f)|+|\log\text{dil}(f^{-1})|\}\]
其中 $\text{biLh(X,Y)}$ 指 $X$ 到 $Y$ 的所有双 Lipschitz 同胚(bi-Lipschitz homeomorphisms)组成的集合.
我们约定当 $X,Y$ 之间不存在双 Lipschitz 同胚时, $d_L(X,Y)=\infty$.
显然 $d_L$ 是对称的, 满足三角不等式, 而且当 $X,Y$ 是等距同构(isometric)时, 有 $d_L(X,Y)=0$.
Prop. 如果度量空间 $X,Y$ 满足 $d_L(X,Y)=0$, 则它们是等距同构的.