问题及解答

$1.19_{+}$ 曲率(Curvature)

对于任意的度量空间 $X$, 很难找到一个有说服力的关于曲率(张量)的定义, 但我们可以将某些类别的度量空间给区别开来, 使他们对应到给定某类型的曲率的黎曼流形. 我们可以这样来做, 比如, 将 $X$ 中点的有限个构型(finite configurations)相互之间的距离强加上不等式.

更确切地, 记 $M_r=\{A_{r\times r}|A^T=A\}$, 即所有 $r$-阶对称矩阵构成的空间. 并令 $K_r(X)\subset M_r$ 为
\[
K_r(X)=\{(m_{ij})_{r\times r}\in M_r\mid m_{ij}=\text{dist}(x_i,x_j),\ \forall x_1,x_2,\ldots,x_r\in X\},
\]
$K_r(X)$ 即指由 $X$ 中所有 $r$ 个点之间的距离作为矩阵元素所构成的对称矩阵的集合.

于是 $M_r$ 中每个子集 $\mathcal{K}\subset M_r$ 定义了(整体) $\mathcal{K}$-曲率类(curvature class)和局部 $\mathcal{K}$-曲率类. 整体 $\mathcal{K}$-曲率类指满足 $K_r(X)\subset\mathcal{K}$ 的度量空间 $X$; 局部 $\mathcal{K}$-曲率类指这样的度量空间 $X$, 其中每个点 $x\in X$ 存在一个邻域 $U$, 使得 $K_r(U)\subset\mathcal{K}$.