问题

$y=\tan x$ 的高阶导数都可以表示为 $\tan x$ 的多项式.

证明: $(\tan x)^{(n)}$ 中最高次 $\tan^{n+1}x$ 前面得系数是 $n!$.

例如:

\[y'=(\tan x)'=\sec^2 x=1+\tan^2 x\]

\[
\begin{split}
y''=(\sec^2 x)'&=2\sec x\cdot(\sec x)'=2\sec x\cdot\sec x\tan x\\
&=2\sec^2 x\tan x=2(1+\tan^2 x)\tan x\\
&=2\tan^3 x+2\tan x=2\tan x\cdot(1+\tan^2 x)
\end{split}
\]

求 $y^{(n)}(0)$

[Hint] 利用 $y'=(\tan x)'=\sec^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$ 得 $y'\cdot\cos^2 x=1$. 然后两边再求 $n$ 阶导数, 利用 Leibniz 求导法则.