（1） 0-1 分布 $B(1,p)$ (参见问题2138)

指取值 1 的概率是 $p$. 于是若随机变量 $X$ 服从 0-1 分布, 我们记 $X\sim B(1,p)$. 则其期望 $E(X)=p$, 方差 $D(X)=p(1-p)$.

(2) 二项分布 $B(n,p)$  (参见问题32)

设随机变量 $X\sim B(n,p)$,  其分布律是

\[
P\{X=k\}=C_n^k p^k q^{n-k}, \quad k=0,1,2,\ldots,n, \quad q=1-p.
\]

于是

\[
E(X)=np.
\]

(3) $\chi^2$ 分布 (参见问题2128)

若随机变量 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 相互独立, 都服从标准正态分布 $N(0,1)$, 则随机变量

\[
Y=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2
\]

服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布, 记为 $Y\sim\chi^2(n)$ , 证明 $E(Y)=n$, 方差 $S^2=2n$.

(4) 泊松(Poisson)分布 $P(\lambda)$ (参见问题2119)

若随机变量 $X$ 的概率分布为

\[
P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0,1,2,\ldots.
\]

其中 $\lambda > 0$, 则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 记为 $X\sim P(\lambda)$.

历史上, 泊松分布是作为二项分布的近似而引入的.

(5) 几何分布  (参见问题2136)

若随机变量 $X$ 的概率分布为

\[
P\{X=k\}=pq^{k-1},\quad k=1,2,\ldots.
\]

其中 $q=1-p$, 则称 $X$ 服从几何分布, 记为 $X\sim $.

甲掷硬币，一开始甲0分。现在若掷正面，甲加一分，并且继续掷。若掷反面，这盘游戏立即结束。 问，甲平均一盘游戏得几分？

正态分布的热核函数是反应扩散方程的解,

如何理解?

有 $n$ 个人, 每个人都以同样的概率被分配到 $N(n\leqslant N)$ 个房间中的某一间. 求下列事件的概率:

(1) A: 某指定 $n$ 间房中各有 $1$ 人;

(2) B: 恰有 $n$ 间房, 其中各有 $1$ 人;

(3) C: 某指定房间中恰有 $m(m\leqslant n)$ 人.

双色球的玩法说明

双色球投注区分为红球号码区和蓝球号码区，红球号码范围为01～33，蓝球号码范围为01～16。双色球每期从33个红球中开出6个号码，从16个蓝球中开出1个号码作为中奖号码，双色球玩法即是竞猜开奖号码的6个红球号码和1个蓝球号码，顺序不限

从 1--33 这 33 个数中开出 6 个号码.

现在任选 10 个号码, 求中这 6 个号码的概率.

从 33 个数中取 10 个号码的种类是

\[
C_{33}^{10}=\frac{33\times 32\times 31\times 30\times 29\times 28\times 27\times 26\times 25\times 24}{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=92561040,
\]

\[
C_{10}^{6}=C_{10}^{4}=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210.
\]

不妨设中奖号码是 $1,2,3,4,5,6$. 则购买的 10 个号码如果覆盖这个中奖号码, 则所有可能的组合构成的集合为

\[
A=\{(1,2,3,4,5,6,x,y,z,w)\mid x,y,z,w\in\{7,8,9,10,\ldots,33\}\},
\]

集合 $A$ 包含的元素个数是
\[
\# A=C_{27}^{4}=\frac{27\times 26\times 25\times 24}{4\times 3\times 2\times 1}=17550.
\]

从而“选 10 个号码中这 6 个号码”的中奖概率是

\[
p(10)=\frac{C_{27}^{4}}{C_{33}^{10}}=\frac{17550}{92561040},
\]

一般的,

\[
p(k)=\frac{C_{27}^{k-6}}{C_{33}^{k}}.
\]

如果将蓝色球也考虑在内, 请计算相应的概率.

二项分布 $B(n,p)$

设随机变量 $X\sim B(n,p)$,  其分布律是

\[
P\{X=k\}=C_n^k p^k q^{n-k}, \quad k=0,1,2,\ldots,n, \quad q=1-p.
\]

于是

\[
E(X)=np,\quad D(X)=npq.
\]