问题及解答

有 $n$ 个人, 每个人都以同样的概率被分配到 $N(n\leqslant N)$ 个房间中的某一间. 求下列事件的概率:

(1) A: 某指定 $n$ 间房中各有 $1$ 人;

(2) B: 恰有 $n$ 间房, 其中各有 $1$ 人;

(3) C: 某指定房间中恰有 $m(m\leqslant n)$ 人.

(1) 指定的房间不妨设是 $r_1,r_2,\ldots,r_n$. 这 $n$ 个房间中各有 $1$ 人, 即将这 $n$ 个人做一个排列, 依次安排到这 $n$ 个房间中去.

而总的来说(不要求一个房间一个人), 每个人都有 $N$ 种选择去哪个房间. 因此事件 A 的概率是

\[
\frac{n!}{N^n}.
\]

(2) 事件 B 与事件 A 的区别在于: 事件 B 并未指定某 $n$ 个房间, 因此可以有 $C_N^n$ 种可能. 因此事件 B 的概率是

\[
{C_N^n}\cdot\frac{n!}{N^n}=\frac{N!}{(N-n)!\cdot N^n}.
\]

(3) 事件 C 中不妨指定的房间是 $r_1$, 要使该房间中恰有 $m$ 人, 则先在 $n$ 个人中选出 $m$ 个, 这有 $C_n^m$ 中可能. 剩余的 $n-m$ 个人每个人有 $N-1$ 种选择去某个房间. 于是事件 C 的概率是

\[
\frac{C_n^m\cdot(N-1)^{n-m}}{N^n}.
\]