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概率统计 >> 概率论
Questions in category: 概率论 (Probability).

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1

证明: 正态分布的峰度是3.

Posted by haifeng on 2018-08-11 21:58:38 last update 2018-08-11 22:00:40 | Answers (0) | 收藏

证明: 正态分布的峰度是3.

 

峰度的定义

\[
g_2=\frac{1}{s^4}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^4,
\]

其中 $s$ 指标准差, 定义为

\[
s=\biggl[\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2\bigg]^{\frac{1}{2}}.
\]

2

$\chi^2$-分布的可加性

Posted by haifeng on 2018-06-02 10:14:24 last update 2018-06-02 10:14:24 | Answers (1) | 收藏

性质. ($\chi^2$-分布的可加性)

若 $Y_1,Y_2,\ldots,Y_k$ 相互独立且都服从 $\chi^2$-分布, 自由度分别为 $n_1,n_2,\ldots,n_k$. 即

\[
Y_i\sim\chi^2(n_i),\quad i=1,2,\ldots,k,
\]

\[
\sum_{i=1}^{k}Y_i\sim\chi^2(n),\quad\text{where}\ n=\sum_{i=1}^{k}n_i.
\]

3

两个正态总体的统计量的分布

Posted by haifeng on 2018-06-02 07:09:51 last update 2018-08-12 12:52:28 | Answers (3) | 收藏

设 $X$ 和 $Y$ 是分布服从 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ 和 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 的两个总体. 分别从它们中抽取容量为 $n_1$ 和 $n_2$ 的样本 $\{X_i\}_{i=1}^{n_1}$, $\{Y_j\}_{j=1}^{n_2}$. 假设所有的抽样都是相互独立的, 由此得到的样本 $X_i$ 和 $Y_j$ 都是相互独立的随机变量.

设样本 $\{X_i\}_{i=1}^{n_1}$, $\{Y_j\}_{j=1}^{n_2}$ 的均值分别为 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$, 样本方差分别为 $s_1^2$ 和 $s_2^2$, 则有

 

(1)

\[
U:=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\ \sim\ N(0,1).
\]

特别地, 若 $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$ 时, 有

\[
U:=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\ \sim\ N(0,1).
\]

 

 

(2)

\[
F:=\frac{\frac{s_1^2}{\sigma_1^2}}{\frac{s_2^2}{\sigma_2^2}}\ \sim\ F(n_1-1,n_2-1).
\]

 

 

(3)

若 $\sigma_1=\sigma_2$, 则

\[
T:=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{s\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\ \sim\ t(n_1+n_2-2),
\]

其中

\[
s=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}.
\]

 


References:

赵静、但琦 等编 《数学建模与数学实验》(第四版),  高等教育出版社.  P. 186.

4

$t$ 分布 $t(n)$

Posted by haifeng on 2018-05-29 13:22:12 last update 2018-05-29 13:22:12 | Answers (0) | 收藏

$t$ 分布 $t(n)$

 

若 $X\sim N(0,1)$, $Y\sim\chi^2(n)$, 且互相独立, 则随机变量 $T:=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$-分布, 记为 $T\sim t(n)$.

 

 

5

单个正态总体统计量的分布

Posted by haifeng on 2018-05-29 13:01:32 last update 2018-06-01 15:07:10 | Answers (3) | 收藏

设总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 是一容量为 $n$ 的样本, 其均值记为 $\bar{X}$, 标准差记为 $s$, 则有

(1)

\[
\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n}),
\]

或等价的,

\[
\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1).
\]

 

(2)

\[
\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1),
\]

\[
\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1).
\]

 

(3)

\[
\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1).
\]


 

References:

赵静、但琦 等编 《数学建模与数学实验》 高等教育出版社  P. 186.

6

期望的一些性质

Posted by haifeng on 2018-05-29 10:42:17 last update 2018-05-29 10:47:17 | Answers (2) | 收藏

Prop 1. 设 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 是 $n$ 个随机变量, $c_i$ 是常数, $i=1,2,\ldots,n$. 则期望满足线性性质:

\[
E(\sum_{i=1}^{n}c_i X_i)=\sum_{i=1}^{n}c_i E(X_i).
\]

若用 $\mu(X)$ 表示随机变量的期望, 则可写为

\[
\mu(\sum_{i=1}^{n}c_i X_i)=\sum_{i=1}^{n}c_i \mu(X_i).
\]

 


 

Prop 2. 设 $X$ 和 $Y$ 是两个互相独立的随机变量, 则有

\[
E(XY)=E(X)E(Y)
\]

这个性质可以推广到 $n$ 个互相独立的随机变量的情形:

 

Cor 3. 若 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 是 $n$ 个相互独立的随机变量, 则

\[
E(X_1 X_2\cdots X_n)=E(X_1)E(X_2)\cdots E(X_n).
\]

或写为

\[
\mu(X_1 X_2\cdots X_n)=\mu(X_1)\mu(X_2)\cdots\mu(X_n).
\]

or

\[
\mu(\prod_{i=1}^{n}X_i)=\prod_{i=1}^{n}\mu(X_i).
\]
 

 


 

Note:

Prop 2 的逆命题不成立. 请举出反例.

7

0-1 分布 $B(1,p)$

Posted by haifeng on 2018-05-29 10:34:25 last update 2018-05-29 10:34:25 | Answers (1) | 收藏

0-1 分布 $B(1,p)$

指取值 1 的概率是 $p$. 于是若随机变量 $X$ 服从 0-1 分布, 我们记 $X\sim B(1,p)$. 则其期望 $E(X)=p$, 方差 $D(X)=p(1-p)$.

8

方差(variance)与标准差

Posted by haifeng on 2018-05-29 10:18:34 last update 2018-05-29 10:30:38 | Answers (1) | 收藏

设 $X$ 是随机变量, $X$ 的方差定义为

\[
D(X)=E\Bigl[\bigl(X-E(X)\bigr)^2\Bigr]\ ,
\]

其中 $E(X)$ 是随机变量 $X$ 的期望. $D(X)$ 也记为 $\mathrm{Var}(X)$.  若记 $\mu=E(X)$, 则 $\mathrm{Var}(X)=E\bigl[(X-\mu)^2\bigr]$.

 

标准差 $\mathrm{Std}(X):=\sqrt{D(X)}$.

 


(a)对于离散型随机变量 $X$, 若 $P\{X=x_k\}=p_k$, $k=1,2,\ldots$, 则根据定义

\[
D(X)=\sum_{k=1}^{+\infty}p_k(x_k-\mu)^2
\]

 

 

(b)对于连续型随机变量 $X$, 若其概率密度函数(PDF)是 $f(x)$, 则根据定义

\[
D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2 f(x)dx.
\]

 

 

这里 $\mu=E(X)$.


 

计算方差的常用公式 (亦可参见问题2043)

\[
D(X)=E(X^2)-(E(X))^2.
\]

 

9

几何分布

Posted by haifeng on 2018-05-29 09:28:11 last update 2018-05-29 09:33:55 | Answers (1) | 收藏

几何分布

若随机变量 $X$ 的概率分布为

\[
P\{X=k\}=pq^{k-1},\quad k=1,2,\ldots.
\]

其中 $q=1-p$, 则称 $X$ 服从几何分布, 记为 $X\sim $.

 

证明: $E(X)=\frac{1}{p}$.

10

$\Gamma$-分布

Posted by haifeng on 2018-05-27 11:24:15 last update 2018-05-27 20:10:49 | Answers (1) | 收藏

$\Gamma$-分布

若随机变量 $X$ 的概率密度函数定义为

\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}, & x > 0,\\
0, & x\leqslant 0,
\end{cases}
\]

其中 $\lambda > 0$, $\alpha > 0$, 则称 $X$ 服从参数为 $\lambda,\alpha$ 的 Gamma 分布, 记为 $X\sim\Gamma(\lambda,\alpha)$.

 

(关于 Gamma 函数 )

 

特别地, 当 $\alpha=1$ 时, 对于 $x > 0$,

\[
f(x)=\frac{\lambda^1}{\Gamma(1)}x^{1-1}e^{-\lambda x}=\lambda e^{-\lambda x}.
\]

此时 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$.

 

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