问题及解答

二项分布 $B(n,p)$

设随机变量 $X\sim B(n,p)$,  其分布律是

\[
P\{X=k\}=C_n^k p^k q^{n-k}, \quad k=0,1,2,\ldots,n, \quad q=1-p.
\]

于是

\[
E(X)=np,\quad D(X)=npq.
\]

有一枚弯曲的硬币，抛至地上正面朝上的概率是$f$, 现在抛了$N$次，其正面朝上的次数服从二项分布。即

\[P(r|f, N)=C_{N}^{r}f^r(1-f)^{N-r}\]

期望为 ${\cal E}(r)=\sum_{r=0}^{N}P(r|f,N)r$,

方差为 $\mathrm{var}[r]={\cal E}\big[(r-{\cal E}[r])^2\big]$

根据离散型随机变量之期望的定义(参见问题2132)

\[
\begin{split}
E(X)&=\sum_{k=0}^{n}x_k p_k\\
&=\sum_{k=0}^{n}k p_k\\
&=\sum_{k=1}^{n}k C_n^k p^k q^{n-k}\\
&=\sum_{k=1}^{n}k\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}p^k q^{n-k}\\
&=np\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)(n-2)\cdots((n-1)-(k-1)+1)}{(k-1)!}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}\\
&\xlongequal{i=k-1}np\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^{i}p^{i}q^{(n-1)-i}\\
&=np(p+q)^{n-1}\\
&=np.
\end{split}
\]
 

我们利用公式 $D(X)=E(X^2)-(E(X))^2$ 来计算方差.

\[
\begin{split}
E(X^2)&=E[X(X-1)+X]\\
&=E(X(X-1))+E(X)\\
&=\sum_{k=0}^{+\infty}k(k-1)\cdot C_n^k p^k q^{n-k}+np\\
&=\sum_{k=2}^{+\infty}k(k-1)\cdot\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1}p^k q^{n-k}+np\\
&=n(n-1)p^2\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{(n-2)(n-3)\cdots((n-2)-(k-2)+1)}{(k-2)!}p^{k-2}q^{(n-2)-(k-2)}+np\\
&\xlongequal{i=k-2}n(n-1)p^2\sum_{i=0}^{+\infty}C_{n-2}^{i}p^i q^{n-2-i}+np\\
&=n(n-1)p^2(p+q)^{n-2}+np\\
&=n(n-1)p^2+np\\
&=n^2 p^2-np^2+np\\
&=n^2 p^2+npq.
\end{split}
\]

因此,

\[D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=n^2 p^2+npq-(np)^2=npq.\]