Questions in category: 曲线积分 (Curvilinear Integral)
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1. 求星形线 $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ 的弧长.

Posted by haifeng on 2015-01-25 19:49:47 last update 2015-01-25 19:52:34 | Answers (0) | 收藏


求星形线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ 的弧长. 这里 $a > 0$.


Hint:

\[
\begin{cases}
x=a\cos^3\theta,\\
y=a\sin^3\theta,
\end{cases}
\]

其中 $\theta\in[0,2\pi)$.

 

计算得弧长为 $6a$.

2. 利用曲线积分的知识证明球面上连接两点的可微曲线以过这两点的大圆劣弧的长度最短.

Posted by haifeng on 2014-09-10 16:54:02 last update 2014-09-10 16:54:02 | Answers (0) | 收藏


也就是证明球面上的测地线是大圆圆弧.

3. 计算摆线上的曲线积分

Posted by haifeng on 2014-08-30 20:42:37 last update 2014-08-31 16:32:19 | Answers (1) | 收藏


计算曲线积分

\[
\int_{L}\cos(x+y^2)dx+\biggl[2y\cos(x+y^2)-\frac{1}{\sqrt{1+y^4}}\biggr]dy,
\]

其中 $L$ 为摆线

\[
\begin{cases}
&x=a(t-\sin t),\\
&y=a(1-\cos t),
\end{cases}
\]

上由点 $O(0,0)$ 到点 $A(2\pi a,0)$ 的有向弧.