计算摆线上的曲线积分
计算曲线积分
\[
\int_{L}\cos(x+y^2)dx+\biggl[2y\cos(x+y^2)-\frac{1}{\sqrt{1+y^4}}\biggr]dy,
\]
其中 $L$ 为摆线
\[
\begin{cases}
&x=a(t-\sin t),\\
&y=a(1-\cos t),
\end{cases}
\]
上由点 $O(0,0)$ 到点 $A(2\pi a,0)$ 的有向弧.
计算曲线积分
\[
\int_{L}\cos(x+y^2)dx+\biggl[2y\cos(x+y^2)-\frac{1}{\sqrt{1+y^4}}\biggr]dy,
\]
其中 $L$ 为摆线
\[
\begin{cases}
&x=a(t-\sin t),\\
&y=a(1-\cos t),
\end{cases}
\]
上由点 $O(0,0)$ 到点 $A(2\pi a,0)$ 的有向弧.
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设 $L_2$ 为从 $A(2\pi a,0)$ 到 $O(0,0)$ 的有向直线段路径. $-L_2$ 即其反向路径(从 $O(0,0)$ 到 $A(2\pi a,0)$ 的直线段路径).
记 $\Omega$ 为由 $L$ 和 $L_2$ 围成的区域.
这里记
\[
\begin{aligned}
P(x,y)&=\cos(x+y^2),\\
Q(x,y)&=2y\cos(x+y^2)-\frac{1}{\sqrt{1+y^4}}.\\
\end{aligned}
\]
易见
\[
\frac{\partial Q}{\partial x}=-2y\sin(x+y^2)=\frac{\partial P}{\partial y},
\]
因此
\[
\int_{\Omega}\biggl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\biggr)dxdy=0.
\]
根据 Green 公式,
\[
\int_{\Omega}\biggl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\biggr)dxdy=\int_L [P(x,y)dx+Q(x,y)dy]+\int_{L_2}[P(x,y)dx+Q(x,y)dy].
\]
因此,
\[
\begin{split}
\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy&=-\int_{L_2} P(x,y)dx+Q(x,y)dy\\
&=\int_{-L_2} P(x,y)dx+Q(x,y)dy\\
&=\int_0^{2\pi a}P(x,0)dx+0\\
&=\int_0^{2\pi a}\cos xdx\\
&=\sin(2\pi a).
\end{split}
\]