问题及解答

计算

\[\oint_{L}\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{x^2+y^2},\]

其中 $L$ 为椭圆 $4x^2+9y^2=36$ 的正向.

注意到椭圆 $L: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 所围区域有原点, 为此取 $L_1$ 为以原点为中心, $0 < r < 2$ 为半径的圆, 方向为顺时针. 记 $L\cup L_1$ 所围闭区域为 $\Omega$. 

令 $P(x,y)=\frac{y}{x^2+y^2}$, $Q(x,y)=\frac{-x}{x^2+y^2}$, 则 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 均是 $\Omega$ 上的一阶连续可微函数, 且

\[
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{\partial P}{\partial y}.
\]

由 Green 公式, 得

\[
\int_{L\cup L_1}\frac{y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x+\frac{-x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y=\int_{\Omega}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0.
\]

在 $L_1$ 上, 令 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. 注意若取 $(r,0)$ 为起点, 则 $\theta$ 从 $2\pi$ 变到 $0$. 

\[
\begin{split}
&\int_{L_1}\frac{y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x+\frac{-x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y\\
=&\int_{2\pi}^{0}\frac{r\sin\theta}{r^2}\mathrm{d}(r\cos\theta)+\frac{-r\cos\theta}{r^2}\mathrm{d}(r\sin\theta)\\
=&\int_{2\pi}^{0}(-1)\sin^2\theta\mathrm{d}\theta-\cos^2\theta\mathrm{d}\theta\\
=&\int_{0}^{2\pi}(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\mathrm{d}\theta\\
=&\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\\
=&2\pi.
\end{split}
\]

因此

\[
\oint_{L}\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{x^2+y^2}=-\oint_{L_1}\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{x^2+y^2}=-2\pi.
\]