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数学基础 >> 黎曼假设
Questions in category: 黎曼假设 (Riemann hypothesis).

1

$\zeta(x)$ 的算法

Posted by haifeng on 2015-09-22 09:10:48 last update 2015-09-22 09:37:51 | Answers (1) | 收藏

当 $x > 1$ 时, $\zeta(x)$ 有下面的公式(参见 问题1196)

\[
\zeta(x)=\frac{1}{\Gamma(x)}\int_0^{+\infty}\frac{u^{x-1}}{e^u -1}du.
\]

设计高效的计算方法来计算 $\zeta(x)$.

其中 $\zeta(2n)$ 有直接和 $\pi$ 相关的公式, 见 http://oeis.org/A002432

2

$B(n,s)$

Posted by haifeng on 2015-09-21 21:20:55 last update 2015-09-22 09:30:09 | Answers (1) | 收藏

定义 $v(n)$ 如下:

\[
\begin{aligned}
v(1)&:=1,\\
v(n)&:=\hat{\zeta}(n)\cdot v(n-1).
\end{aligned}
\]

其中 $\hat{\zeta}(s):=\pi^{-s/2}\cdot\Gamma(\frac{s}{2})\cdot\zeta(s)$.

定义 $B(n,s)$ 如下:

\[
\begin{aligned}
B(0,s)&:=1,\quad\forall\ s,\\
B(n,s)&:=\sum_{m=1}^{n}\frac{v(m)\cdot B(n-m,-m)}{s-m}.\\
\end{aligned}
\]

求 $B(m,m-n)$ 的表达式, 这里 $m=1,2,\ldots,n$. 

例如

\[
B(1,1-n)=-\frac{1}{n}.
\]

3

Hurwitz zeta 函数

Posted by haifeng on 2015-09-17 11:22:19 last update 2015-09-17 11:22:19 | Answers (0) | 收藏

Hurwitz zeta 函数

\[
\zeta(s,a):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+a)^s},\quad\mathrm{Re}s > 1,\ \text{且}\ \mathrm{Re}a > 0.
\]

这个函数可以扩充到整个复平面 $\mathbb{C}$ 上成为一个亚纯函数. 其 Laurent 展式为

\[
\zeta(s,a)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\gamma_n(a)(s-1)^n,
\]

其中 $\gamma_k(a)$ 是 Stieltjes 常数.

4

Riemann-zeta 函数

Posted by haifeng on 2013-12-29 22:01:20 last update 2017-04-13 10:48:25 | Answers (1) | 收藏

Riemann 将 Euler 的 Zeta 函数 $\zeta(s):=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s}$ 扩展定义到复平面 $\mathbb{C}$ 上. $s=1$ 是单极点. Riemann 注意到, 这个 zeta 函数在 $-2,-4,-6,\ldots$ 处有平凡零点. Riemann 计算了一些非平凡零点, 都位于直线 $\mathrm{Re}(s)=\frac{1}{2}$ 上. Riemann hypothesis 就是断言: 所有非平凡零点都在此直线上.

 

设 $s$ 是实部大于 1 的复变量. 定义 Riemann zeta 函数为
\[
\zeta(s):=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s},
\]
容易证明这个级数是绝对收敛的. 事实上
\[
\biggl|\dfrac{1}{n^s}\biggr|=\dfrac{1}{|n^s|}=\dfrac{1}{n^{\Re(s)}}.
\]
这里要指出的是, 一般 $n^s$ 认为是一个多值函数, 我们取其中一个分支.
\[n^s=e^{s\mathrm{Log}n}=e^{s(\log n+i(\mathrm{arg}n+2k\pi))},\]

我们这里取 $k=0$.

Riemann 证明了这个复变函数可以通过解析延拓而成为 $\mathbb{C}$ 上的一个亚纯函数, 仅有一个单极点 $s=1$, 在该极点处的留数为 1. 并且满足下面的泛函方程
\[
\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\Bigl(\dfrac{s}{2}\Bigr)\zeta(s)=\pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma\Bigl(\dfrac{1-s}{2}\Bigr)\zeta(1-s).
\]

这里 $\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^s\cdot\frac{dt}{t}$ 是 Gamma 函数. 我们记

\[
\widehat{\zeta}(s)=\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\Bigl(\dfrac{s}{2}\Bigr)\zeta(s).
\]

于是有 $\widehat{\zeta}(1-s)=\widehat{\zeta}(s)$, $\forall\ s\in\mathbb{C}$.

 

若 $s\in\mathbb{R}$ 且 $s > 1$, 记 $x=s$, 则 $\zeta(s)=\zeta(x)$ 可用下面的公式计算

\[
\zeta(x)=\frac{1}{\Gamma(x)}\int_0^{\infty}\frac{u^{x-1}}{e^u-1}du.
\]

特别的, 当 $x=n$ 时, 可以推出 $\zeta(n)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^n}$.


 

Weng Zeta 函数(by Lin Weng)在 $n=2$ 时是

\[
\hat{\zeta}_2(s)=\frac{\hat{\zeta}(2s)}{-2+2s}-\frac{\hat{\zeta}(-1+2s)}{2s}.
\]


\[
\begin{aligned}
\zeta(1)&=\infty\\
\zeta(2)&=\frac{\pi^2}{6}=1.644934066848226436472415166646\ldots\\
\zeta(3)&=1.2020569032\ldots\\
\zeta(4)&=\frac{\pi^4}{90}=1.0823232337111381915160036965412\ldots\\
\zeta(5)&=1.0369277551\ldots\\
\zeta(6)&=\frac{\pi^6}{945}=1.0173430619844491397145179297909\ldots\\
\zeta(7)&=1.0083492774\ldots\\
\zeta(8)&=\frac{\pi^8}{9450}=1.0040773561979443393786852385087\ldots\\
\zeta(9)&=1.0020083928\ldots\\
\zeta(10)&=\frac{\pi^{10}}{93555}=1.0009945751278180853371459589003\ldots\\
\end{aligned}
\]

 


References:

http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

5

黎曼假设之介绍

Posted by haifeng on 2013-12-29 21:56:24 last update 2015-10-16 22:55:47 | Answers (0) | 收藏

Riemann zeta 函数是由德国著名的数学家 Bernhard Riemann 提出来的. 由于它与素数的分布有关, 因此是数论中一个非常重要的函数. 这个函数在其他领域如物理, 概率论以及应用统计学中都有很多应用.

黎曼假设(Riemann hypothesis)是关于 Riemann zeta 函数的零点分布的一个猜想. 这是纯数学中到目前为止尚未解决的最重要的问题之一. 许多数学家都为此作出了不懈努力.

 

其他阅读材料

Riemann 猜想漫谈(by 卢昌海

http://changhai.org/articles/science/mathematics/riemann_hypothesis/index.php


References:

原文: THE RIEMANN HYPOTHESIS
作者: ENRICO BOMBIERI


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