Riemann-zeta 函数
Riemann 将 Euler 的 Zeta 函数 $\zeta(s):=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s}$ 扩展定义到复平面 $\mathbb{C}$ 上. $s=1$ 是单极点. Riemann 注意到, 这个 zeta 函数在 $-2,-4,-6,\ldots$ 处有平凡零点. Riemann 计算了一些非平凡零点, 都位于直线 $\mathrm{Re}(s)=\frac{1}{2}$ 上. Riemann hypothesis 就是断言: 所有非平凡零点都在此直线上.
设 $s$ 是实部大于 1 的复变量. 定义 Riemann zeta 函数为
\[
\zeta(s):=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s},
\]
容易证明这个级数是绝对收敛的. 事实上
\[
\biggl|\dfrac{1}{n^s}\biggr|=\dfrac{1}{|n^s|}=\dfrac{1}{n^{\Re(s)}}.
\]
这里要指出的是, 一般 $n^s$ 认为是一个多值函数, 我们取其中一个分支.
\[n^s=e^{s\mathrm{Log}n}=e^{s(\log n+i(\mathrm{arg}n+2k\pi))},\]
我们这里取 $k=0$.
Riemann 证明了这个复变函数可以通过解析延拓而成为 $\mathbb{C}$ 上的一个亚纯函数, 仅有一个单极点 $s=1$, 在该极点处的留数为 1. 并且满足下面的泛函方程
\[
\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\Bigl(\dfrac{s}{2}\Bigr)\zeta(s)=\pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma\Bigl(\dfrac{1-s}{2}\Bigr)\zeta(1-s).
\]
这里 $\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^s\cdot\frac{dt}{t}$ 是 Gamma 函数. 我们记
\[
\widehat{\zeta}(s)=\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\Bigl(\dfrac{s}{2}\Bigr)\zeta(s).
\]
于是有 $\widehat{\zeta}(1-s)=\widehat{\zeta}(s)$, $\forall\ s\in\mathbb{C}$.
若 $s\in\mathbb{R}$ 且 $s > 1$, 记 $x=s$, 则 $\zeta(s)=\zeta(x)$ 可用下面的公式计算
\[
\zeta(x)=\frac{1}{\Gamma(x)}\int_0^{\infty}\frac{u^{x-1}}{e^u-1}du.
\]
特别的, 当 $x=n$ 时, 可以推出 $\zeta(n)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^n}$.
Weng Zeta 函数(by Lin Weng)在 $n=2$ 时是
\[
\hat{\zeta}_2(s)=\frac{\hat{\zeta}(2s)}{-2+2s}-\frac{\hat{\zeta}(-1+2s)}{2s}.
\]
\[
\begin{aligned}
\zeta(1)&=\infty\\
\zeta(2)&=\frac{\pi^2}{6}=1.644934066848226436472415166646\ldots\\
\zeta(3)&=1.2020569032\ldots\\
\zeta(4)&=\frac{\pi^4}{90}=1.0823232337111381915160036965412\ldots\\
\zeta(5)&=1.0369277551\ldots\\
\zeta(6)&=\frac{\pi^6}{945}=1.0173430619844491397145179297909\ldots\\
\zeta(7)&=1.0083492774\ldots\\
\zeta(8)&=\frac{\pi^8}{9450}=1.0040773561979443393786852385087\ldots\\
\zeta(9)&=1.0020083928\ldots\\
\zeta(10)&=\frac{\pi^{10}}{93555}=1.0009945751278180853371459589003\ldots\\
\end{aligned}
\]
References: