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问题及解答

$\zeta(x)$ 的算法

Posted by haifeng on 2015-09-22 09:10:48 last update 2015-09-22 09:37:51 | Edit | Answers (1)

当 $x > 1$ 时, $\zeta(x)$ 有下面的公式(参见 问题1196)

\[
\zeta(x)=\frac{1}{\Gamma(x)}\int_0^{+\infty}\frac{u^{x-1}}{e^u -1}du.
\]

设计高效的计算方法来计算 $\zeta(x)$.

其中 $\zeta(2n)$ 有直接和 $\pi$ 相关的公式, 见 http://oeis.org/A002432

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Posted by haifeng on 2015-09-22 09:20:04

\[
\int_0^{+\infty}\frac{u^{x-1}}{e^u-1}du=\int_0^{1}\frac{u^{x-1}}{e^u-1}du+\int_1^{+\infty}\frac{u^{x-1}}{e^u-1}du,
\]

对于第二个积分, 进行换元, 令 $t=\frac{1}{u}$, 则 $u=\frac{1}{t}$, $du=-\frac{1}{t^2}dt$, 于是

\[
\int_1^{+\infty}\frac{u^{x-1}}{e^u-1}du=\int_1^{0}\frac{(\frac{1}{t})^{x-1}}{e^{\frac{1}{t}}-1}\cdot(-\frac{1}{t^2})dt=\int_0^1\frac{1}{t^{x+1}(e^{\frac{1}{t}}-1)}dt.
\]

因此, 原积分可表示为

\[
\int_0^{+\infty}\frac{u^{x-1}}{e^u-1}du=\int_0^{1}\frac{t^{x-1}}{e^t-1}dt+\int_0^1\frac{1}{t^{x+1}(e^{\frac{1}{t}}-1)}dt.
\]

根据此积分, 可设计相应的程序近似计算 $\zeta(s)$, 这里 $s$ 为大于 1 的实数.