定义 $v(n)$ 如下:
\[
\begin{aligned}
v(1)&:=1,\\
v(n)&:=\hat{\zeta}(n)\cdot v(n-1).
\end{aligned}
\]
其中 $\hat{\zeta}(s):=\pi^{-s/2}\cdot\Gamma(\frac{s}{2})\cdot\zeta(s)$.
定义 $B(n,s)$ 如下:
\[
\begin{aligned}
B(0,s)&:=1,\quad\forall\ s,\\
B(n,s)&:=\sum_{m=1}^{n}\frac{v(m)\cdot B(n-m,-m)}{s-m}.\\
\end{aligned}
\]
求 $B(m,m-n)$ 的表达式, 这里 $m=1,2,\ldots,n$.
例如
\[
B(1,1-n)=-\frac{1}{n}.
\]
1
显然, 对于 $v(n)$ 我们有
\[
\begin{aligned}
v(1)&=1,\\
v(2)&=\hat{\zeta}(2)\cdot v(1)=\hat{\zeta}(2),\\
v(3)&=\hat{\zeta}(3)\cdot v(2)=\hat{\zeta}(3)\cdot\hat{\zeta}(2),\\
v(4)&=\hat{\zeta}(4)\cdot v(3)=\hat{\zeta}(4)\cdot\hat{\zeta}(3)\cdot\hat{\zeta}(2),\\
&\vdots\\
v(n)&=\hat{\zeta}(n)\cdot\hat{\zeta}(n-1)\cdots\hat{\zeta}(2).
\end{aligned}
\]
因此
\[
\begin{split}
v(n)&=\hat{\zeta}(n)\cdot\hat{\zeta}(n-1)\cdots\hat{\zeta}(2)\\
&=\prod_{j=2}^{n}\pi^{-j/2}\Gamma(\frac{j}{2})\cdot\zeta(j)\\
&=\frac{1}{(\sqrt{\pi})^{\frac{(n+2)(n-1)}{2}}}\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{n-1}{2})\cdot\Gamma(\frac{3}{2})\Gamma(\frac{2}{2})\cdot\zeta(2)\zeta(3)\cdot\zeta(n).
\end{split}
\]
\[
B(1,1-n)=\frac{v(1)\cdot B(1-1,-1)}{(1-n)-1}=\frac{v(1)\cdot B(0,-1)}{-n}=-\frac{1}{n}.
\]
注意这里 $v(1)=1$. 从而 $B(1,-1)=B(1,1-2)=-\frac{1}{2}$.
\[
\begin{split}
B(2,2-n)&=\frac{v(1)\cdot B(2-1,-1)}{(2-n)-1}+\frac{v(2)\cdot B(2-2,-2)}{(2-n)-2}\\
&=\frac{B(1,-1)}{1-n}+\frac{v(2)\cdot B(0,-2)}{-n}\\
&=\frac{-\frac{1}{2}}{1-n}+\frac{v(2)}{-n}\\
&=\frac{1}{2(n-1)}-\frac{1}{n}\hat{\zeta}(2).
\end{split}
\]
故 $B(2,-1)=B(2,2-3)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\hat{\zeta}(2)$.
\[
\begin{split}
B(3,3-n)&=\frac{v(1)\cdot B(3-1,-1)}{(3-n)-1}+\frac{v(2)\cdot B(3-2,-2)}{(3-n)-2}+\frac{v(3)\cdot B(3-3,-3)}{(3-n)-2}\\
&=\frac{B(2,-1)}{2-n}+\frac{v(2)\cdot B(1,-2)}{1-n}+\frac{v(3)\cdot B(0,-3)}{-n}\\
&=\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\hat{\zeta}(2)}{2-n}+\frac{v(2)\cdot(-\frac{1}{3})}{1-n}+\frac{v(3)}{-n}\\
&=\frac{1}{3(n-2)}\hat{\zeta}(2)-\frac{1}{4(n-2)}+\frac{1}{3(n-1)}\hat{\zeta}(2)-\frac{1}{n}\hat{\zeta}(3)\hat{\zeta}(2)\\
&=-\frac{1}{n}\hat{\zeta}(3)\hat{\zeta}(2)+\frac{2n-3}{3(n-2)(n-1)}\hat{\zeta}(2)-\frac{1}{4(n-2)}.
\end{split}
\]