问题

定义 $v(n)$ 如下:

\[
\begin{aligned}
v(1)&:=1,\\
v(n)&:=\hat{\zeta}(n)\cdot v(n-1).
\end{aligned}
\]

其中 $\hat{\zeta}(s):=\pi^{-s/2}\cdot\Gamma(\frac{s}{2})\cdot\zeta(s)$.

定义 $B(n,s)$ 如下:

\[
\begin{aligned}
B(0,s)&:=1,\quad\forall\ s,\\
B(n,s)&:=\sum_{m=1}^{n}\frac{v(m)\cdot B(n-m,-m)}{s-m}.\\
\end{aligned}
\]

求 $B(m,m-n)$ 的表达式, 这里 $m=1,2,\ldots,n$. 

例如

\[
B(1,1-n)=-\frac{1}{n}.
\]