Questions in category: 高等几何 (Geometry)
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1. 已知椭圆 $C: \frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{16}=1$, 直线 $\ell: \frac{x}{12}+\frac{y}{8}=1$, $P$ 是 $\ell$ 上一点. 射线 $OP$ 交椭圆于点 $R$, 又点 $Q$ 在 $OP$ 上且满足 $|OQ|\cdot|OP|=|OR|^2$, 当点 $P$ 在 $\ell$ 上移动时, 求点 $Q$ 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线.

Posted by haifeng on 2018-03-18 10:58:50 last update 2018-03-18 10:58:50 | Answers (0) | 收藏


已知椭圆 $C: \frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{16}=1$, 直线 $\ell: \frac{x}{12}+\frac{y}{8}=1$, $P$ 是 $\ell$ 上一点. 射线 $OP$ 交椭圆于点 $R$, 又点 $Q$ 在 $OP$ 上且满足 $|OQ|\cdot|OP|=|OR|^2$, 当点 $P$ 在 $\ell$ 上移动时, 求点 $Q$ 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线.
 

2. 求直线 $2x+y-1=0$ 关于二次曲线 $\Gamma: 3x^2+4xy+y^2+8x+2y+5=0$ 的极点 $P$.

Posted by haifeng on 2018-03-18 10:56:03 last update 2018-03-18 10:56:03 | Answers (0) | 收藏


求直线 $2x+y-1=0$ 关于二次曲线 $\Gamma: 3x^2+4xy+y^2+8x+2y+5=0$ 的极点 $P$.

3. 给定一分式线性变换 $f$, 使得存在常数 $a$, 满足 $f(a)\neq a$ 且 $f(f(a))=a$. 证明: $f(f(x))=x$ 对所有 $x$ 成立.

Posted by haifeng on 2018-03-18 10:35:24 last update 2018-03-18 10:35:24 | Answers (1) | 收藏


给定一分式线性变换 $f$, 使得存在常数 $a$, 满足 $f(a)\neq a$ 且 $f(f(a))=a$. 证明: $f(f(x))=x$ 对所有 $x$ 成立.


 

4. 四边形 $ABCD$ 的四边 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ 上分别有点 $E$, $F$, $G$, $H$. 如果直线 $BD$, $EH$, $FG$ 共点, 求证: $AC$, $EF$, $HG$ 也共点.

Posted by haifeng on 2018-03-18 10:08:11 last update 2018-03-18 10:26:00 | Answers (1) | 收藏


四边形 $ABCD$ 的四边 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ 上分别有点 $E$, $F$, $G$, $H$. 如果直线 $BD$, $EH$, $FG$ 共点, 求证: $AC$, $EF$, $HG$ 也共点.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. 设 $AB$ 是某椭圆的直径. 平行于 $AB$ 的两条直线与此椭圆相切, 切点分别为 $C$ 和 $D$. 求证: $CD$ 和 $AB$ 是一对共轭直径.

Posted by haifeng on 2018-03-18 09:52:18 last update 2018-03-18 09:54:46 | Answers (1) | 收藏


设 $AB$ 是某椭圆的直径. 平行于 $AB$ 的两条直线与此椭圆相切, 切点分别为 $C$ 和 $D$. 求证: $CD$ 和 $AB$ 是一对共轭直径.

 

Remark:

这里直径的含义与分析中某个区域 $\Omega$ 的直径 $\sup\limits_{x,y\in\Omega} d(x,y)$ 之含义不同.

关于椭圆直径和共轭直径的定义, 参见 https://baike.baidu.com/item/共轭直径

 

6. 设 $(\mathbb{E},V)$ 是 2 维欧几里得空间, 仿射自同构 $f\in Aff(\mathbb{E})$ 保持内积空间 $V$ 中任意两个向量的夹角不变. 证明: $f$ 的“线性”部分是 $V$ 上正交变换的常数倍.

Posted by haifeng on 2018-03-14 23:19:14 last update 2018-03-14 23:19:14 | Answers (1) | 收藏


设 $(\mathbb{E},V)$ 是 2 维欧几里得空间, 仿射自同构 $f\in Aff(\mathbb{E})$ 保持内积空间 $V$ 中任意两个向量的夹角不变. 证明: $f$ 的“线性”部分是 $V$ 上正交变换的常数倍.

 

Remark:

这里 $f$ 的“线性”部分是指去掉平移部分后的变换.

7. 在三角形 $\triangle ABC$ 中, $D,E,F$ 分别是三边 $BC$, $CA$, $AB$ 上的点, 且满足 $\frac{AF}{FB}=\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{1}{m}$. 设 $AD$ 与 $BE$ 交于 $N$ (有时可记为 $AD\cap BE=N$), $BE\cap CF=P$, $CF\cap AD=M$. 求两三角形面积之比 $S_{\triangle MNP} : S_{\triangle ABC}$.

Posted by haifeng on 2018-03-14 21:43:24 last update 2018-03-14 22:37:54 | Answers (1) | 收藏


在三角形 $\triangle ABC$ 中, $D,E,F$ 分别是三边 $BC$, $CA$, $AB$ 上的点, 且满足

\[
\frac{AF}{FB}=\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{1}{m}.
\]

设 $AD$ 与 $BE$ 交于 $N$ (有时可记为 $AD\cap BE=N$), $BE\cap CF=P$, $CF\cap AD=M$. 求两三角形面积之比 $S_{\triangle MNP} : S_{\triangle ABC}$.
 

 


[Hint] 使用仿射几何的性质.

 

 

References:

冯克勤 射影几何漫谈

8. 交比(cross ratio)的定义与性质

Posted by haifeng on 2018-03-14 19:34:33 last update 2018-03-14 19:49:23 | Answers (0) | 收藏


在射影几何中, 假设直线 $\ell$ 上有四个点 $A,B,C,D$. 它们的坐标(在 $\ell$ 上的坐标)分别是 $a,b,c,d$. 则定义这四个点的交比是

\[
[A,B,C,D]:=\frac{c-a}{c-b}:\frac{d-a}{d-b}.
\]

 

性质:交比是射影变换不变量.

 

容易验证交比有下列性质.

\[
\begin{align}
[A,B,C,D]&=[B,A,C,D]^{-1}=[A,B,D,C]^{-1},\\
[A,B,C,D]&=[B,A,D,C]=[C,D,A,B],\\
[A,B,C,D]&=1-[A,C,B,D],\\
\end{align}
\]

 

9. $\mathbf{R}^3$中的椭球面被平行平面所截的所有截线相似.

Posted by haifeng on 2015-09-04 01:20:14 last update 2015-09-04 01:20:14 | Answers (1) | 收藏


$\mathbf{R}^3$中的椭球面被平行平面所截的所有截线相似.

10. 平面截椭球面得到的曲线是圆的充要条件

Posted by haifeng on 2015-09-04 00:16:38 last update 2015-09-04 00:20:47 | Answers (1) | 收藏


平面截椭球面

\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\qquad(0 < a < b < c) 
\]

得到的截线是圆当且仅当截平面的方程是 $x\sqrt{\alpha}\pm z\sqrt{\beta}=\lambda$,其中 $\alpha=\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2}, \beta=\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{c^2}$。

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