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几何 >> 高等几何
Questions in category: 高等几何 (Geometry).

1

$\mathbf{R}^3$中的椭球面被平行平面所截的所有截线相似.

Posted by haifeng on 2015-09-04 01:20:14 last update 2015-09-04 01:20:14 | Answers (1) | 收藏

$\mathbf{R}^3$中的椭球面被平行平面所截的所有截线相似.

2

平面截椭球面得到的曲线是圆的充要条件

Posted by haifeng on 2015-09-04 00:16:38 last update 2015-09-04 00:20:47 | Answers (1) | 收藏

平面截椭球面

\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\qquad(0 < a < b < c) 
\]

得到的截线是圆当且仅当截平面的方程是 $x\sqrt{\alpha}\pm z\sqrt{\beta}=\lambda$,其中 $\alpha=\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2}, \beta=\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{c^2}$。

3

二次曲线的公共弦定理

Posted by haifeng on 2015-03-06 22:03:11 last update 2015-03-06 22:03:11 | Answers (0) | 收藏

 二次曲线的公共弦定理

假设两条二次曲线 $\Gamma$ 和 $\Gamma_1$ 在点 $A$ 和 $B$ 相切, 二次曲线 $\Gamma$ 和 $\Gamma_2$ 在点 $C$ 和 $D$ 相切, 并且 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 有 4 个公共点. 则二次曲线 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 的公共弦经过直线 $AB$ 和 $CD$ 的交点.

4

一个椭圆与四边形 $ABCD$ 四边分别相切于 $A_1,B_1,C_1,D_1$, 证明直线 $AC$, $BD$, $A_1C_1$, $B_1D_1$ 共点.

Posted by haifeng on 2015-03-06 17:35:32 last update 2015-03-06 17:35:32 | Answers (1) | 收藏

一个椭圆与四边形 $ABCD$ 四边分别相切于 $A_1,B_1,C_1,D_1$, 证明直线 $AC$, $BD$, $A_1C_1$, $B_1D_1$ 共点.

5

凸五边形到正五边形的仿射变换

Posted by haifeng on 2015-03-06 17:07:01 last update 2015-03-06 17:07:01 | Answers (1) | 收藏

证明: 所有边平行于相应对角线的任一凸五边形 $ABCDE$(即, 如 $AB\|CE$, $BC\|DA$ 等等)可被仿射变换到一个正五边形.

6

给定 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 中一个所有顶点都具有整数坐标的$(2n+1)$维方体, 证明其边长是一整数.

Posted by haifeng on 2015-03-02 20:57:59 last update 2015-03-02 20:57:59 | Answers (1) | 收藏

给定 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 中一个所有顶点都具有整数坐标的 $(2n+1)$ 维方体, 证明其边长是一整数.

7

$\cos\alpha_1+\cdots+\cos\alpha_n > \sqrt{n(n-1)}$

Posted by haifeng on 2015-03-02 20:35:26 last update 2015-03-02 20:35:26 | Answers (1) | 收藏

给定一标准正交基 $e_1,\ldots,e_n$, 及一组向量 $a_1,\ldots,a_n$, 设 $e_i$ 和 $a_i$ 之间的夹角为 $\alpha_i,\
\forall i$. 证明: 如果有

\[
\cos\alpha_1+\cdots+\cos\alpha_n>\sqrt{n(n-1)},
\]

则向量 $a_1,\ldots,a_n$ 线性独立。

8

[Thm](Steiner 定理)如果六个点 $A,B,C,D,E,F$ 按照此顺序位于同一圆锥曲线上, 则三个六边形 $ABCDEF$, $ADCFEB$, $ADEBCF$ 的 Pascal 线相交于一点.

Posted by haifeng on 2013-12-26 09:14:02 last update 2013-12-26 09:30:40 | Answers (0) | 收藏

[Thm](Steiner 定理)如果六个点 $A,B,C,D,E,F$ 按照此顺序位于同一圆锥曲线上, 则三个六边形 $ABCDEF$, $ADCFEB$, $ADEBCF$ 的 Pascal 线相交于一点.

9

高等几何精品课程网站

Posted by haifeng on 2012-07-26 11:20:56 last update 2012-07-26 12:34:50 | Answers (0) | 收藏

南京师范大学

http://math.njnu.edu.cn/gdjh/entry.htm

10

平行六面体的体积不大于由其中有公共顶点的三条边互相垂直时生成的方体的体积.

Posted by haifeng on 2012-07-26 09:40:17 last update 2012-07-26 10:19:02 | Answers (0) | 收藏

证明:

\[
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & z_1\\
x_2 & y_2 & z_2\\
x_3 & y_3 & z_3
\end{vmatrix}^2\leqslant(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2)(z_1^2+z_2^2+z_3^2).
\]


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