问题及解答

给定一分式线性变换 $f$, 使得存在常数 $a$, 满足 $f(a)\neq a$ 且 $f(f(a))=a$. 证明: $f(f(x))=x$ 对所有 $x$ 成立.

由于分式线性变换是一一映射, 因此, 若 $x\neq a$, 则 $f(x)\neq f(a)$. 对于四个数 $a,x,f(a),f(x)$, 可以定义交比 $[a,x,f(a),f(x)]$. 分式线性变换保持交比不变. 因此

\[
[a,x,f(a),f(x)]=[f(a),f(x),f(f(a)),f(f(x))].
\]

将 $f(f(a))=a$ 代入, 得

\[
[a,x,f(a),f(x)]=[f(a),f(x),a,f(f(x))]
\]

推出

\[
\begin{split}
&\frac{f(a)-a}{f(a)-x} : \frac{f(x)-a}{f(x)-x}=\frac{a-f(a)}{a-f(x)} : \frac{f(f(x))-f(a)}{f(f(x))-f(x)}\\
\Rightarrow\ &\frac{f(a)-a}{f(a)-x}\cdot\frac{f(x)-x}{f(x)-a}=\frac{a-f(a)}{a-f(x)}\cdot\frac{f(f(x))-f(x)}{f(f(x))-f(a)}\\
\Rightarrow\ &\frac{f(x)-x}{f(a)-x}=\frac{f(f(x))-f(x)}{f(f(x))-f(a)}\\
\Rightarrow\ &(f(x)-x)(f(f(x))-f(a))=(f(a)-x)(f(f(x))-f(x))\\
\Rightarrow\ &f(x)f(f(x))+xf(a)=f(a)f(f(x))+xf(x),
\end{split}
\]

整理得

\[
\bigl(f(x)-f(a)\bigr)\cdot f(f(x))=\bigl(f(x)-f(a)\bigr)\cdot x
\]

由于 $f(x)\neq f(a)$, 故推出 $f(f(x))=x$, 这里 $x\neq a$. 再加上条件 $f(f(a))=a$, 我们有 $f(f(x))=x$ 对所有 $x$ 都成立.