问题及解答

设 $AB$ 是某椭圆的直径. 平行于 $AB$ 的两条直线与此椭圆相切, 切点分别为 $C$ 和 $D$. 求证: $CD$ 和 $AB$ 是一对共轭直径.

Remark:

这里直径的含义与分析中某个区域 $\Omega$ 的直径 $\sup\limits_{x,y\in\Omega} d(x,y)$ 之含义不同.

关于椭圆直径和共轭直径的定义, 参见 https://baike.baidu.com/item/共轭直径

圆和椭圆是仿射等价的, 也就是说可以通过仿射变换, 将一个椭圆变换到圆, 反之亦然.

仿射几何就是研究几何对象在仿射变换下不变的性质.

在这里, 平行于直径的弦的中点的轨迹和直径互称为共轭直径, 它是仿射不变的. 因此可以将椭圆在仿射变换下映射为圆.

为简化记号, 不妨假设椭圆就是圆. 上面的字母含义不变. $AB$ 是圆的直径, 平行于 $AB$ 的两条直线与圆相切, 两切点 $C,D$ 所在的直线显然与 $AB$ 垂直. 显然 $CD$ 和 $AB$ 是一对共轭直径.