计算积分 $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\mathrm{d}x$.
设 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数, 证明
\[
\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)\mathrm{d}x\ .
\]
利用这个等式计算积分 $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\mathrm{d}x$.