设 $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2})^n}$, $x\geqslant 0$, 证明 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的连续函数.
$f(x)$ 是定义在 $[0,+\infty)$ 上的函数, 具体为
\[f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2})^n},\]
证明 $f(x)\in C([0,+\infty))$.