方差(variance)与标准差
设 $X$ 是随机变量, $X$ 的方差定义为
\[
D(X)=E\Bigl[\bigl(X-E(X)\bigr)^2\Bigr]\ ,
\]
其中 $E(X)$ 是随机变量 $X$ 的期望. $D(X)$ 也记为 $\mathrm{Var}(X)$. 若记 $\mu=E(X)$, 则 $\mathrm{Var}(X)=E\bigl[(X-\mu)^2\bigr]$.
标准差 $\mathrm{Std}(X):=\sqrt{D(X)}$.
(a)对于离散型随机变量 $X$, 若 $P\{X=x_k\}=p_k$, $k=1,2,\ldots$, 则根据定义
\[
D(X)=\sum_{k=1}^{+\infty}p_k(x_k-\mu)^2
\]
(b)对于连续型随机变量 $X$, 若其概率密度函数(PDF)是 $f(x)$, 则根据定义
\[
D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2 f(x)\mathrm{d}x.
\]
这里 $\mu=E(X)$.
计算方差的常用公式 (亦可参见问题2043)
\[
D(X)=E(X^2)-(E(X))^2.
\]