问题及解答

设 $X$ 是随机变量, $X$ 的方差定义为

\[
D(X)=E\Bigl[\bigl(X-E(X)\bigr)^2\Bigr]\ ,
\]

其中 $E(X)$ 是随机变量 $X$ 的期望. $D(X)$ 也记为 $\mathrm{Var}(X)$.  若记 $\mu=E(X)$, 则 $\mathrm{Var}(X)=E\bigl[(X-\mu)^2\bigr]$.

标准差 $\mathrm{Std}(X):=\sqrt{D(X)}$.

（a）对于离散型随机变量 $X$, 若 $P\{X=x_k\}=p_k$, $k=1,2,\ldots$, 则根据定义

\[
D(X)=\sum_{k=1}^{+\infty}p_k(x_k-\mu)^2
\]

（b）对于连续型随机变量 $X$, 若其概率密度函数(PDF)是 $f(x)$, 则根据定义

\[
D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2 f(x)\mathrm{d}x.
\]

这里 $\mu=E(X)$.

计算方差的常用公式 (亦可参见问题2043)

\[
D(X)=E(X^2)-(E(X))^2.
\]

\[
\begin{split}
D(X)&=E\bigl[(X-E(X))^2\bigr]\\
&=E\bigl[X^2-2XE(X)+(E(X))^2\bigr]\\
&=E(X^2)-2E(X)E(X)+(E(X))^2\\
&=E(X^2)-(E(X))^2.
\end{split}
\]