计算概率积分 $\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx$.
计算概率积分
\[\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.\]
称其为概率积分的原因是: 正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 的分布密度函数为
\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad x\in(-\infty,+\infty),\quad\sigma > 0.
\]
[Hint]
令 $I=\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx$, 则 $I=\int_{0}^{+\infty}e^{-y^2}dy$. 然后计算 $I^2$. 将直角坐标系转换为极坐标系.
Remark: 根据 Gamma 函数的定义, 可以计算得
\[
\begin{split}
\Gamma(\frac{1}{2})&=\int_{0}^{+\infty}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\\
&=\sqrt{\pi}
\end{split}
\]