问题及解答

计算概率积分

\[\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.\]

称其为概率积分的原因是: 正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 的分布密度函数为

\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad x\in(-\infty,+\infty),\quad\sigma > 0.
\]

[Hint]

令 $I=\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx$, 则 $I=\int_{0}^{+\infty}e^{-y^2}dy$. 然后计算 $I^2$. 将直角坐标系转换为极坐标系.

Remark: 根据 Gamma 函数的定义, 可以计算得

\[
\begin{split}
\Gamma(\frac{1}{2})&=\int_{0}^{+\infty}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\\
&=\sqrt{\pi}
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
I^2&=\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_{0}^{+\infty}e^{-y^2}dy\\
&=\iint_{[0,+\infty)\times[0,+\infty)}e^{-x^2-y^2}dxdy
\end{split}
\]

令 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. 这里 $r\in[0,+\infty)$, $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$. 于是积分变为

\[
\begin{split}
I^2&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2}rdrd\theta\\
&=\frac{\pi}{2}\cdot\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{2}e^{-r^2}dr^2\\
&=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}e^{-u}du\\
&=\frac{\pi}{4}\cdot(-e^{-u})\bigr|_{0}^{+\infty}\\
&=\frac{\pi}{4}.
\end{split}
\]

因此, $I=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$.  于是

\[
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}.
\]