求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$.
求极限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}
\]
[Hint] 用积分
或者求
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
\]
如果不使用积分, 怎么算?
利用此极限, 求
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{(a+b)(2a+b)\cdots(na+b)}}{n},
\]
这里 $a,b$ 均为正数.
注: 对于 $\alpha > 0$,
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{(1+\alpha)(2+\alpha)\cdots(n+\alpha)}}{n}
\]
与
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}
\]
的结果是一样的.