求极限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}
\]
[Hint] 用积分
或者求
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
\]
如果不使用积分, 怎么算?
利用此极限, 求
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{(a+b)(2a+b)\cdots(na+b)}}{n},
\]
这里 $a,b$ 均为正数.
注: 对于 $\alpha > 0$,
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{(1+\alpha)(2+\alpha)\cdots(n+\alpha)}}{n}
\]
与
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}
\]
的结果是一样的.
1
注意到
\[
\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=e^{\ln\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}}
\]
因此只要求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\ln\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$
\[
\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}\ln\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}&=\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigl[\ln\sqrt[n]{n!}-\ln n\Bigr]\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigl[\frac{1}{n}(\ln 1+\ln 2+\cdots+\ln n)-\ln n\Bigr]\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\ln i-\ln n)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln\frac{i}{n}\\
&=\int_0^1 \ln x dx\\
&=-1,
\end{split}
\]
因此, 原极限是 $e^{-1}$.