对于 $v=(v_1,v_2,\ldots,v_n)$, $w=(w_1,w_2,\ldots,w_n)\in\mathbb{Q}^n$, 定义内积

\[\langle v,w\rangle=v_1 w_1+v_2 w_2+\cdots+v_n w_n.\]

称 $\sigma$ 是正交变换, 如果对任意 $v,w$, 均有 $\langle\sigma(v),\sigma(w)\rangle=\langle v,w\rangle$.

求证: 对任意正交变换 $\sigma$, 存在正交变换 $\tau_1,\tau_2,\ldots,\tau_k$, 使得 $\sigma=\tau_1 \tau_2 \cdots \tau_k$, 其中 $\{v\in V\mid\tau_i(v)=v\}$ 的维数为 $n-1$.

设正整数 $n\geqslant 2$, $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 是实数. 设 $n$ 阶实方阵

\[
A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_1\\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_2\\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & a_3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{n-1}\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a_n\\
\end{bmatrix}\ .
\]

对线性空间 $V=\{X\in M_n(\mathbb{R})\mid X^T=X\}$, 定义线性变换 $F:\ V\rightarrow V$, $F(X)=AXA^T$. 求 $\mathrm{tr}(F)$ 和 $\det(F)$.

注: 此题为 2023年10月一试清华新领军第6题.

记 $M_2$ 是全体 $2\times 2$ 的实矩阵构成的集合. 设 $A\in M_2$ 为可逆矩阵且 $\mathrm{tr}(A)\neq 0$. 定义线性映射 $T:\ M_2\rightarrow M_2$ 为 $T(X)=AX+XA$. 问: 是否对任意 $B\in M_2$, 都存在惟一的 $X\in M_2$, 使得 $T(X)=B$?

记 $V=\{f\in C^{\infty}(\mathbb{R})\mid f(x+1)=2f(x)\}$, 定义 $L:\ V\rightarrow V$ 为 $L(f)=f'+kf$. 求使得 $L$ 为双射的所有实数 $k$.

Remark. 2024年11月一试清华新领军第3题.

设 $m,n,k$ 是正整数, 定义线性映射 $L:\ M_{m\times n}\rightarrow M_{k\times n}$. 记

\[W=\{L\mid L(AB)=L(A)B,\ \forall A\in M_{m\times n}, B\in M_{n\times n}\},\]

求 $\dim W$.

设正整数 $n\geqslant 2$, $S_n$ 为 $n$ 阶置换群. 考虑线性空间

\[V=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n\mid x_1+x_2+\cdots+x_n=0\}.\]

对 $\tau\in S_n$, 定义线性变换 $\rho_\tau:\ V\rightarrow V$,

\[(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mapsto(x_{\tau(1)},x_{\tau(2)},\ldots,x_{\tau(n)}).\]

记 $\chi(\tau)=\mathrm{tr}(\rho_\tau)$.

(1) 对 $\tau\in S_n$, 求 $\chi(\tau)$ 的所有可能值;

(2) 求 $\sum_{\tau\in S_n}\chi(\tau)^2$ 的值.