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记 $M_2$ 是全体 $2\times 2$ 的实矩阵构成的集合. 设 $A\in M_2$ 为可逆矩阵且 $\mathrm{tr}(A)\neq 0$. 定义线性映射 $T:\ M_2\rightarrow M_2$ 为 $T(X)=AX+XA$. 问: 是否对任意 $B\in M_2$, 都存在惟一的 $X\in M_2$, 使得 $T(X)=B$?

Posted by haifeng on 2025-10-25 13:21:44 last update 2025-10-25 13:21:44 | Edit | Answers (0)

记 $M_2$ 是全体 $2\times 2$ 的实矩阵构成的集合. 设 $A\in M_2$ 为可逆矩阵且 $\mathrm{tr}(A)\neq 0$. 定义线性映射 $T:\ M_2\rightarrow M_2$ 为 $T(X)=AX+XA$. 问: 是否对任意 $B\in M_2$, 都存在惟一的 $X\in M_2$, 使得 $T(X)=B$?

问题及解答

记 $M_2$ 是全体 $2\times 2$ 的实矩阵构成的集合. 设 $A\in M_2$ 为可逆矩阵且 $\mathrm{tr}(A)\neq 0$. 定义线性映射 $T:\ M_2\rightarrow M_2$ 为 $T(X)=AX+XA$. 问: 是否对任意 $B\in M_2$, 都存在惟一的 $X\in M_2$, 使得 $T(X)=B$?