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11. Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality

Posted by haifeng on 2011-06-02 18:02:44 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (0) | 收藏

设 $u$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上具有紧支集的连续可微实值函数, 则对于 $1\leq p < n $, 存在常数 $C$(仅依赖于 $n,p$), 使得 \[ \|u\|_{L^{p^*}(\mathbb{R}^n)}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf{R}^n)}, \] 其中 $p^*=\frac{np}{n-p}>p$ 是 $p$ 的 Sobolev 对偶.

12. 内插不等式与Hölder不等式结合的一个引理.

Posted by haifeng on 2011-05-31 17:55:48 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (1) | 收藏

假设 $u\in W^{m,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$, 则有 \[ \| D^j u\|_{L^r(\Omega)}\leq C\big[\| u\|_{L^p(\Omega)}+\| D^m u\|_{L^p(\Omega)}\big]^\theta\cdot\| u\|_{L^q(\Omega)}^{1-\theta}, \] 其中 $\|\cdot\|_p=\|\cdot\|_{L^p(\Omega)}$, $\frac{j}{m}\leq\theta\leq 1$, 且满足下述关系r \[ \frac{1}{r}-\frac{j}{n}=\theta(\frac{1}{p}-\frac{m}{n})+(1-\theta)\frac{1}{q}. \]

13. Kadomtsev-Petviashvili 方程

Posted by haifeng on 2011-05-27 17:49:27 last update 2021-03-24 16:53:22 | Answers (0) | 收藏

简称 KP 方程
\[ u_{tx}+\alpha(u_x^2+uu_{xx})+\gamma u_{xxxx}+\varepsilon u_{yy}=0, \] 其中 $\alpha,\gamma,\varepsilon$ 均为自由参数. KP 方程可看作 KdV 方程在高维情形的推广, 它用于描述水波的运动.

KP 方程虽然来自于应用数学, 但随后被证实它与代数几何、表示论及谱理论有关.

"非等谱特征参数的方程可能更具现实意义, 更接近现实模型"

"应用 Hirota 方程和 Wronskian 技巧, 可以解决非等谱 KP 方程"

14. Sine–Gordon 方程

Posted by haifeng on 2011-05-27 17:43:55 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (0) | 收藏

Sine–Gordon equation
\[ u_{xx}-u_{tt}-\sin u=0 \]

15. 非线性 Schrödinger 方程

Posted by haifeng on 2011-05-27 17:41:37 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (0) | 收藏

Schrödinger equation
\[ -iu_t+\alpha u_{xx}+\beta|u|^2u=0, \] 其中 $i=\sqrt{-1}$, $\alpha$ 和 $\beta$ 分别为频散系数和 Landou 系数, $|u|^2=uu^*$, $u^*$ 是 $u$ 的复共轭.

16. Boussinesq 方程

Posted by haifeng on 2011-05-27 17:36:39 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (0) | 收藏

\[ u_{tt}-\alpha u_{xx}-\beta(u^2)_{xx}-\gamma u_{xxxx}=0, \] 其中 $\alpha,\beta,\gamma$ 为参数.

17. Burgers 方程

Posted by haifeng on 2011-05-27 17:34:06 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (0) | 收藏

Burgers\' equation
\[ u_t+uu_x-\alpha u_{xx}=0 \] 其中 $\alpha$ 为耗散系数.

18. KdV 方程

Posted by haifeng on 2011-05-27 17:22:00 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (1) | 收藏

Korteweg–de Vries equation
\[ u_t+6uu_x+u_{xxx}=0 \]