问题及解答

设 $p,q,r$ 为实数, $j,m$ 为整数, 分别满足 $1\leq p,q,r\leq +\infty$, $0\leq j<m$. 现在假设 $u\in W^{m,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$, 则有
\[
\| D^j u\|_{L^r(\Omega)}\leq C\big[\| u\|_{L^p(\Omega)}+\| D^m u\|_{L^p(\Omega)}\big]^\theta\cdot\| u\|_{L^q(\Omega)}^{1-\theta},
\]
其中 $\|\cdot\|_p=\|\cdot\|_{L^p(\Omega)}$, $\frac{j}{m}\leq\theta\leq 1$, 且满足下述关系
\[
\frac{1}{r}-\frac{j}{n}=\theta(\frac{1}{p}-\frac{m}{n})+(1-\theta)\frac{1}{q}.
\]