问题及解答

设 $u$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上具有紧支集的连续可微实值函数, 则对于 $1\leq p < n $, 存在常数 $C$(仅依赖于 $n,p$), 使得 \[ \|u\|_{L^{p^*}(\mathbb{R}^n)}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf{R}^n)}, \] 其中 $p^*=\frac{np}{n-p}>p$ 是 $p$ 的 Sobolev 对偶.